高中数学立体几何大题训练.docVIP

- --- 高中数学立体几何大题训练 1.如图所示，在长方体 ABCD A1 B1C1D1 中， AB=AD=1， AA1=2， M 是棱 CC1 的中点 （Ⅰ）求异面直线 A1M 和 C1 D1 所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M 1 2.如图， 在矩形 ABCD 中，点 E, F 分别在线段 AB, AD 上， AE EB AF 2 FD 4 . 3 沿直线 EF 将 V AEF 翻折成 V A EF ，使平面 A EF 平面 BEF . （Ⅰ）求二面角 A FD C 的余弦值； （Ⅱ）点 M , N 分别在线段 FD , BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与 A 重合，求线段 FM 的长。 3. 如图，直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AC BC ， AA1 AB ， D 为 BB1 的中点， E 为 AB1上的一点， AE 3EB1 ． （Ⅰ）证明： DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45°，求二面角 A1 AC1 B1 的大小 如图，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是矩形 PA⊥平面 ABCD， AP=AB， BP=BC=2， E，F 分别是 PB, PC的中点 . ( Ⅰ ) 证明： EF∥平面 PAD； ( Ⅱ ) 求三棱锥 E— ABC的体积 V. 5. 如图，棱柱 ABC A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形， B1C A1 B （Ⅰ）证明：平面 1 平面 11 ； ABC A BC （Ⅱ）设 D 是 AC1 1 上的点，且 A1B // 平面 BCD1 ，求 A1D : DC1 的值 . 6.已知三棱锥 P－ ABC 中， PA⊥ ABC ，AB ⊥ AC ，PA=AC= ?AB ，N 为 AB 上一 点， AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点 . （Ⅰ）证明： CM ⊥ SN； （Ⅱ）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 . 如图△ BCD 与△ MCD都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 平面 BCD， AB 平面 BCD， AB 2 3 。 1） 求点 A 到平面 MBC的距离； 2） 求平面 ACM与平面 BCD所成二面角的正弦值。 8.如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形， AB=2EF=2，EF∥ AB,EF⊥ FB,∠ BFC=90°， BF=FC,H为 BC的中点， E F (Ⅰ )求证： FH∥平面 EDB; （Ⅱ）求证： AC⊥平面 EDB; D C （Ⅲ）求四面体 B—DEF的体积； H A B 9.如图，正方形 ABCD和四边形 ACEF所在的平面互相垂直， CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ，CE=EF=1. （Ⅰ）求证： AF∥平面 BDE； （Ⅱ）求证： CF⊥平面 BDE； （Ⅲ）求二面角 A-BE-D的大小。 10. 已知正方体 ABCD － A B C D 的棱长为 1，点 M 是棱 AA 的中点，点 O 是对角线 BD 的中点 . （Ⅰ）求证： OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角 M－ BC －B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥 M－ OBC 的体积 .  D C A B O M D  C A B 2.（Ⅰ）解：取线段 EF的中点 H，连结 A H ，因为 A E = A F 及 H 是 EF的中 点，所以 A H EF , 又因为平面 A EF 平面 BEF .如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A （ 2，2， 2 2 ）， C（ 10， 8，0）， F（4，0， 0）， D（ 10， 0，0） . FA =（ -2，2， 2 2 ）， FD =（6，0， 0）. 设 n =（x,y,z）为平面 A FD 的一个法向量， -2x+2y+2 2 z=0 所以 6x=0. 取 z 2 ，则 n (0, 2, 2) 。 又平面 BEF 的一个法向量 m (0,0,1) ， 故 cos n, m n m 3 。 n m 3 所以二面角的余弦值为  3 3 （Ⅱ）解：设 FM x,则 M (4 x,0,0) ， 因为翻折后， C 与 A 重合，所以 CM A M ， 故， (6 x) 2 8 2 0 2 2 2 2 21 =（ 2 x） 2 （ 2 2），得 x ， 4 N 在线段 BC 上，所以 FM 21 经检验，此时点 4 。 方法二： （Ⅰ）解：取线段 EF 的中点 H , AF 的中点 G ,连