2001年全国高中数学联赛试卷及答案.docVIP

- --- 二○○一年全国高中数学联合竞赛题 10 月 4 日上午 8：00—9：40） 题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人 学生注意： 1、本试卷共有三大题（ 15 个小题），全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 个小是题，每题均给出（ A）（ B）（ C）（ D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不 论是否写在括号内） ，一律得 0 分。 1、已知 a 为给定的实数，那么集合 M={x|x 2-3x-a2+2=0,x ∈ R} 的子集的个数为 （ A） 1 （ B） 2 （C） 4 （ D）不确定 2、命题 1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题 2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题 3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有 （ A） 0 个 （ B ）1 个 （C） 2 个 （ D） 3 个 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx| 中以 为周期、在（ 0， ）上单调递增的偶函数是 2 A） y=sin|x|（ B） y=cos|x| 4、如果满足∠ ABC=60 °， AC=12 ， BC=k  （C） y=|ctgx| （ D） y=lg|sinx| 的⊿ ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是 （ A） k=8 3 （B ） 0k≤ 12 （ C） 2 （ D） 0＜ｋ ≤ 12或 k 8 3 2 1000 的展开式为ａ ＋ａ ｘ＋ａ ｘ ＋ ? ＋ａ 2000ｘ 2000 5．若（ 1＋ｘ＋ｘ ） ０ １ ２ ２ ， 则ａ ０ ＋ａ 3＋ａ 6＋ａ 9 ＋? ＋ａ 1998 的值为（ ）． （ A） 3333 （ B ）3666 （C） 3999 （ D） 32001 6．已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24，而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元，则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （ A） 2 枝玫瑰价格高 （B ） 3 枝康乃馨价格高 （ C）价格相同 （D）不确定 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 7．椭圆 ρ＝ 1／（ 2－ｃｏｓ θ）的短轴长等于 ______________ ． 8、若复数 z1,z 2 满足 |z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2= 3 -I, 则 z1 z2= 。 2 9、正方体 ABCD— A1B1C1D1 的棱长为 1 ，则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 。 10、不等式 1 2 3 的解集为 。 log 1 x 2 2 第 1 页 共 13 页 11、函数 y x x 2 的值域为 。 3 x 2 A 12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 （如图），要求同一场块中种同一种植物， F B 相邻的两块种不同的植物。 现有 4 种不同的植物可供选择， 则有 种 E C 栽种方案。 60 分，每小题 20 分） D 二、 解答题（本题满分 13、设 {a n} 为等差数列， {b n} 为等比数列，且 2 2 2 b1 a1 ， b2 a 2 ， b 3 a 3 （a1a2） , 又 lim (b1 b 2 b n ) 2 1 ，试求 {a n} 的首项与公差。 n 14、设曲线 C1: x 2 2 y 2 1 ( a 为正常数 ) 与 C2:y 2=2(x+m) 在 x 轴上方公有一个公共点 P。 a 1） 求实数 m的取值范围（用 a 表示）； 2） O为原点，若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0a 1 时，试求⊿ OAP的面积的最大值 （用 a 表示）。 2 15、用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、（ a1a2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。 第 2 页 共 13 页 二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题 （10 月 4 日上午 10：00—12： 00） 学生注意： 1、本试卷共有三大题，全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、（本题满分 50 分） 如图：⊿ ABC中， O为外心，三条高 AD、BE、 CF交于点 H，直线