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矩阵特征值的意义 想要理解特征值，首先要理解矩阵相似。什么是矩阵相似呢？从定义角度就是：存在可逆矩阵P满足B＝则我们说A和B是相似的。让我们来回顾一下之前得出的重要结论：对于同一个线性空间，可以用两组不同的基和基来描述，他们之间的过渡关系是这样的：，而对应坐标之间的过渡关系是这样的：。其中P是可逆矩阵，可逆的意义是我们能变换过去也要能变换回来，这一点很重要。 我们知道，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以用一个矩阵T1来描述这个线性变换。换一组基，就得到另一个不同的矩阵T2（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系）。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。具体来说，有一个线性变换，我们选择基来描述，对应矩阵是T1；同样的道理，我们选择基来描述，对应矩阵是T2；我们知道基和基是有联系的，那么他们之间的变换T1和T2有没有联系呢？ 当然有，T1和T2就是相似的关系，具体的请看下图： 没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同基的描述矩阵。这就是相似变换的几何意义。 这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。就像信号处理（积分变换）中将信号（函数）进行拉氏变换，在复数域处理完了之后又进行拉式反变换，回到实数域一样。信号处理中是主要是为了将复杂的卷积运算变成乘法运算。其实这样的变换还有好多，有兴趣可以看积分变换的教材。 为什么这样做呢？矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。至于什么样的矩阵是“美”的，什么样的是“丑”的，我们说对角阵是美的。在线性代数中，我们会看到，如果把复杂的矩阵变换成对角矩阵，作用完了之后再变换回来，这种转换很有用处，比如求解矩阵的n次幂！而学了矩阵论之后你会发现，矩阵的n次幂是工程中非常常见的运算。这里顺便说一句，将矩阵对角化在控制工程和机械振动领域具有将复杂方程解耦的妙用！总而言之，相似变换是为了简化计算！ 从另一个角度理解矩阵就是：矩阵主对角线上的元素表示自身和自身的关系，其他位置的元素aij表示i位置和j位置元素之间的相互关系。那么好，特征值问题其实就是选取了一组很好的基，就把矩阵 i位置和j位置元素之间的相互关系消除了。而且因为是相似变换，并没有改变矩阵本身的特性。因此矩阵对角化才如此的重要！ 特征向量的引入是为了选取一组很好的基。空间中因为有了矩阵，才有了坐标的优劣。对角化的过程，实质上就是找特征向量的过程。如果一个矩阵在复数域不能对角化，我们还有办法把它化成比较优美的形式——Jordan标准型。高等代数理论已经证明：一个方阵在复数域一定可以化成Jordan标准型。这一点有兴趣的同学可以看一下高等代数后或者矩阵论。 特征值英文名eigen value。“特征”一词译自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。它还有好多名字，比如谱，本征值。为什么会有这么多名字呢？ 原因就在于他们应用的领域不同，中国人为了区分，给它不同的名字。你看英文文献就会发现，他们的名字都是同一个。当然，特征值的思想不仅仅局限于线性代数，它还延伸到其他领域。在数学物理方程的研究领域，我们就把特征值称为本征值。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。 前面我们讨论特征值问题面对的都是有限维度的特征向量，下面我们来看看特征值对应的特征向量都是无限维函数的例子。这时候的特征向量我们称为特征函数，或者本证函数。这还要从你熟悉的微分方程说起。方程本质是一种约束，微分方程就是在世界上各种各样的函数中，约束出一类函数。对于一阶微分方程 我们发现如果我将变量y用括号[]包围起来，微分运算的结构和线性代数中特征值特征向量的结构,即和竟是如此相似。这就是一个求解特征向量的问题啊！只不过“特征向量”变成函数！我们知道只有满足这个式子。这里出现了神奇的数e，一杯开水放在室内，它温度的下降是指数形式的；听说过放射性元素的原子核发生衰变么？随着放射的不断进行，放射强度将按指数曲线下降；化学反应的进程也可以用指数函数描述……类似的现象还有好多。 为什么选择指数函数