分部积分法的应用技巧.docVIP

青海师专学报 (教育科学 )JO URNAL O F Q INGHA I JUN IO R TE 青海师专学报 (教育科学 ) JO URNAL O F Q INGHA I JUN IO R TEAC HERS’COLL EGE ( Educa t ion Sc ien ce) 2009年第 5 期 No5. 2009 文章编号 : 1007 - 0117 ( 2009 ) 05 - 0039 - 03 分部积分法的应用技巧 马纪英 1 , 薛力峰 2 ( 1. 2. 石家庄邮电职业技术学院 , 河北 石家庄 050021 ) 要 :作者给出了应用分部积分法的一般技巧 , 主要是提供了 u和 dν的一般选择技巧 , 以解决学生在使用中的困难 . 摘 关键词 :分部积分法 ; 应用 ; 技巧 中图分类号 : O172. 2 文献标识码 : B 分部积分法在求解函数的不定积分和定积分的运算中占有非常重要的位置 , 主要用来求解被积函数为 两个函数的乘积形式的积分问题 . 分部积分法的原理来自于函数乘积的导数公式 : ( uν) ′= u ′ν+ uν′, 经过移 项 , 两边求不定积分 , 可以得到分部积分公式 : ∫uν′d x = uν - ∫u ′νd x, 或者写成 ∫u dν = uν - ν∫d u. 这种方法的 应用主要在于 :如果求 ∫u dν有困难 , 则可以转化为求比较简单的 ν∫d u. 难点在于如何选择 u和 dν. 如果 u和 dν 选取不当 , 很可能会使积分变得更加复杂. 如 :求 ∫x sinx d x . 解 :方法一 、令 u ( x ) = x, dν( x ) = sinx d x, 则 d u ( x ) = d x,ν( x ) = - co sx 于是 ,由分部积极公式 ,可得 ∫x sinx d x = - x co sx + ∫co sx d x = - x co sx + sinx + C 方法二 、令 u ( x ) = sinx, dν( x ) = x d x, 则 = 1 x2 ,于是 ,根据分部积分公式 ,可得 d u ( x ) = co sx d x,ν( x ) 2 2 1 x2 x ∫x sinx d x = ∫2 sinx - co sx d x 2 显然 , 上式右端的积分比原积分更复杂 , 更不容易求解. 从这个例题可以看出 , u和 dν的选择 , 在使用分部积分法时起着至 呢 ?根据我们的经验发现 , 按照“反 、对 、幂 、三 、指 ”的顺序 (前面的函数 和 dν效果很好 . 下面举例说明 : 例 1 求 ∫x a rc tanx d x . (幂函数与反三角函数的乘积 ) 分析 :根据“反 、对 、幂 、三 、指 ”的顺序 , a rc tanx是反三角函数在前 , 收稿日期 : 2009 - 03 - 30 基金项目 :石家庄邮电职业技术学院《高等教学 》重点课程建设项目基金资助项目 作者简介 :马纪英 ( 1981 - ) ,男 ,河北南宫人 ,石家庄邮电职业技术学院助教 . 关重要的作用 . 那么 , 如何选取 u和 dν 作为 u, 后面的函数作为 dν) 来选择 u x是幂函数在后 , 故令 u ( x ) = a rc tanx, ( XJ200839 ) . ·39· 青海师专学报 (教育科学 )1d x,ν( x ) = 1 x2 .dν( x ) = x d x, 那么 d u ( x ) =1 + x2221 x21 x解 : ∫x a rc tanx d x =∫1 + x2a rc tanx -d x2222= x11 + x -1 d x∫1 + x2a r 青海师专学报 (教育科学 ) 1 d x,ν( x ) = 1 x2 . dν( x ) = x d x, 那么 d u ( x ) = 1 + x2 2 2 1 x2 1 x 解 : ∫x a rc tanx d x = ∫1 + x2 a rc tanx - d x 2 2 2 2 = x 1 1 + x - 1 d x ∫1 + x2 a rc tanx - 2 2 1 2 1 = x ∫ a rc tanx - ( 1 - ) d x 1 + x2 2 2 2 = x 1 x + 1 a rc tanx - a rc tanx + C 2 2 2 1 ( x2 + 1 ) a rc tanx - 1 x + C . = 2 2 例 2 求 ∫x2 ex d x . (幂函数与指数函数的乘积 ) 解