03第十三章---动能定理汇总.pptVIP

例13-8均质杆AB，长 ，质量为 ，沿光滑墙面滑下，如例图 (a)所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为 由瞬心法求质心的速度 所以 系统的主动力图为图（a）所示。 重力的元功为 由动能定理 所以 系统的运动微分方程为 讨论： （1）平面运动刚体可用式 ，计算刚体动能 式中 为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。 质心的速度 也可用式 计算。 （2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角 为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为 系统的动能 主动力的元功 根据动能定理建立的方程为 所以 “—”号说明当 取正值时 为负，即反时针方向。 （3）本题也可用平面运动微分方程求解。 * 例13-2质量为m的物块，自高度h处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图所示。弹簧的刚性系数为 ，不计弹簧和板的质量。求弹簧的最大变形。 解：分为两个阶段 1．重物由位置Ⅰ落到板上, 只有重力做功。 动能定理 求得 2．物块继续向下运动，弹簧被压缩，物块速度逐渐减小，当速度等于零时，弹簧被压缩到最大变形 ，重力和弹性力均做功。 动能定理 解得 弹簧的变形量是正值，因此取正号 解法二： 两个阶段合在一起考虑 解得的结果与前面所得相同。 上式说明，在物块从位置Ⅰ到位置Ⅲ的运动过程中，重力做正功，弹性力做负功，恰好抵消，因此物块运动始末位置的动能是相同的。显然，物块在运动过程中动能是变化的，但在应用动能定理时不必考虑始末位置之间动能是如何变化的。 例13-3提升机构如图所示，设启动时电动机的转矩M视为常量，大齿轮及卷筒对于轴 AB的转动惯量为 ，小齿轮、联轴节及电动机转子对于轴 CD的转动惯量为 ，被提升的重物重为 P，卷筒、大齿轮及小齿轮的半径分别为 及 。略去摩擦及钢丝绳质量，求重物从静止开始上升距离S时的速度及加速度。 解：1、研究整个系统（包括电机）对象； 2、计算主动力的功： 系统所受的约束为理想约束 电动机的转矩M和重力P做功 3、计算系统始末位置的动能： 系统由静止状态开始运动，初始位置的动能 当重物上升高度S时， 重物的速度 ，轴AB和CD 的角速度分别为 系统在此位置的动能 4、应用动能定理，并求解重物的速度： 列出方程 运动学关系 得 重物的速度 上式建立了重物的速度与上升距离之间的关系。在一般情况下，对于一个自由度系统应用动能定理可直接建立系统的速度与系统的位移之间的关系。 ① 5、求重物的加速度 将式①两边对时间求导数 ① 注意： 由此得 由上面加速度 的表达式中可看出，分母恒为正值。在启动时 ，故要求驱动力矩 ，启动后若重物匀速上升， ，此时 。 §13-4 功率、功率方程、机械效率 单位时间内力所做的功。 一、功率 用功率来衡量机器做功的快慢程度，是衡量机器性能的一项重要指标。 力的元功为 力的功率 力的功率等于力在力的作用点的速度方向上的投影与速度的乘积。 功率 一定时， 大则 小， 小则 大。 力的功率： 力矩或转矩的功率 力矩或转矩的元功 力矩或转矩的功率 力矩或转矩的功率等于力矩与物体转动的角速度的乘积。 二、功率方程 动能定理的微分形式 上式两边除以 ——功率方程 质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。 1）当机器启动或加速运动时， 即输入功率要大于输出功率； 2）当机器停车或负荷突然增加时，机器做减速运动， 即输入功率小于输出功率； 3）当机器匀速运转时， 即输入功率和输出功率相等，称为功率平衡。 三、机械效率 机械在稳定运转时，有用输出功率与输入功率之比。 机械效率说明机械对于输入能量的有效利用程度，是评价机械质量的指标之一。它与机械的传动方式、制造精度与工作条件有关，一般情况下 。 例13-4车床电动机的功率 ，当稳定运转时主轴的转速