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八　不等式选讲(B) 1.(2018·呼伦贝尔一模)已知a0,b0,且a+b=1. (1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围; (2)若4a+1b 2.(2018·永州模拟)已知?x0∈R使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立. (1)求满足条件的实数t的集合T; (2)若m1,n1,且对于?t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最 3.(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|. (1)若f(x)≥1m+1n(m0,n0)对任意x (2)若f(x)≥ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围. 4.(2018·南平质检)已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|. (1)解不等式f(x)≤x+1; (2)设函数f(x)的最小值为c,已知实数a,b满足a0,b0,a+b=c,求证:a2a+1+ 1.解:(1)因为a0,b0,且a+b=1, 所以ab≤(a+b2)2=14,当且仅当a=b=12 由ab≤m恒成立,故m≥14 (2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以4a+1b=(4a+1b)(a+b)=5+4ba 当且仅当a=2b时取等号, 故若4a+1b≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2| 当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2, 当-2x12,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2x1 当x≥12时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得12≤x 综上所述,x的取值范围为[-6,12]. 2.解:(1)|x-1|-|x-2|≤|x-1-(x-2)|=1, 所以|x-1|-|x-2|≤1, 所以t的取值范围为(-∞,1], 即集合T=(-∞,1]. (2)由(1)知,对于?t∈T,不等式log3m·log3n≥ 只需log3m·log3n≥tmax 所以log3m·log3n≥ 又因为m1,n1, 所以log3m0,log3 又1≤log3m·log3n≤(log3m+log3n2)2=(lo 所以(log3mn)2≥4, 所以log3mn≥2,mn≥9, 所以m+n≥2mn≥6, 即m+n的最小值为6(此时m=n=3). 3.解:(1)由题意可知,f(x)=- 函数f(x)的图象如图: 由图知f(x)min=32 所以1m+1n≤32,即m 即m+n≤32mn≤32(m+ 当且仅当m=n时等号成立, 因为m0,n0,解得m+n≥83 当且仅当m=n时等号成立, 故m+n的最小值为83 (2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的直线, 则f(x)≥g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方, 由图象可知-3≤a≤73 4.(1)解:f(x)≤x+1, 即|x-1|+|x-3|≤x+1. ①当x1时,不等式可化为4-2x≤x+1,x≥1. 又因为x1,所以x∈; ②当1≤x≤3时,不等式可化为2≤x+1,x≥1. 又因为1≤x≤3,所以1≤x≤3. ③当x3时,不等式可化为2x-4≤x+1,x≤5. 又因为x3,所以3x≤5. 综上可得,1≤x≤3,或3x≤5,即1≤x≤5. 所以原不等式的解集为[1,5]. (2)证明:由绝对值不等式的性质得, |x-1|+|x-3|≥|(1-x)+(x-3)|=2, 即c=2,即a+b=2, 令a+1=m,b+1=n, 则m1,n1,a=m-1,b=n-1,m+n=4, a2a+1+b2b+1=(m-1)2 原不等式得证.