点有相对极大值.PPT

設 y = f (x)為一函數， (1)自變數 x 的微分(differential) dx 是 x 的增量，即 dx = ?x (2)因變數 y 的微分 dy 為 dy = f ?(x) dx 由於已知　 = f ?(x)，所以我們可將 看成兩個微分 dy、dx 的商。再者，dy 可當作 ?y 的近似值。也就是說，當 x 變動時，dy 可視為因變數 y 的改變量。 設 y = f (x1, ……, xn)，則 我們稱 dy 為因變數 y 的全微分(total differential)。 設函數 y = f (x) 的定義域為 S ? Rn，若對於 S 中所有的 x，f (x0) ? f (x)，則稱 f 在 x0 點有絕對極大值(absolute or global maximum)。若對於 S 中所有的 x，f (x0) ? f (x)，則 f 在 x0 點有絕對極小值(absolute or global minimum)。 若對於 x0 鄰近的點 x，f (x0) ? f (x)，則稱 f 在 x0點有相對極大值(relative or local maximum)。若對於 x0 鄰近的點 x，f (x0) ? f (x)，則稱 f 在 x0 點有相對極小值(relative or local minimum)。 若 x* 滿足 gi (x*) = bi , i = 1, 2, …, m，且?g1 (x*), ?g2 (x*), …, ?gm (x*)為線性獨立，則稱 x* 為 S 之正規點(regular point)。 在正規點 x*，我們可以進一步定義一個 Rn 的子空間 對 S 而言，M 代表的是在 x* 點的切面(tangent plane)。 設函數 f 及 f ? 皆定義於區間(a, b)。 設 x0 在(a, b)內，且 f ? (x0) = 0。 (1)若 f ? (x0) 0，則 f 在 x0 點有相對極小值。 (2)若 f ? (x0) 0，則 f 在 x0 點有相對極大值。 若 f ? (x0) = 0，f ? (x0) = 0且 f ?? (x0) ? 0，則 x0 為 f 的反曲點。 設 y = f (x1, x2, ……, xn)為一函數。若 f 在 x0 上有極值，則 定理 3-3 的結論告訴我們偏導數全部為 0 只是極值的必要條件。就算已知在某一點上函數 f 的偏導數均為 0，我們也無法斷定 f 在此點上具有極值。因此如同定理 3-1，我們必須還要有其他的條件，以確定極值的存在。 充分條件 設 y = f (x1, x2, …, xn)為一函數，若 f 在 x0 點滿足 (1) (2)對於每個非零向量 z， 則 f 在 x0 點有相對極小(大)值。 必要條件 設 y = f (x1, x2, …, xn)為一函數，若 f 在 x0 點有相對極小(大)值，則在 x0 點 (1) (2)對於每個非零向量 z， 設 y = f (x1, x2, …, xn)為一函數。若點 x0 滿足 (1)若在 x0 點，行列式 |Hk| 0, k = 1, ……, n，則 f 在 x0 點有相對極小值。 (2)若在 x0 點，(?1)k |Hk| 0, k = 1, ……, n，則 f 在 x0 點有相對極大值。 設 z = f (x, y)，且在點(a, b)上， (1) (2) (3)　　　　　　　　　　　　　　　　則(a, b)為一鞍點(saddle point)，即 f (a, b)不是極值。 (4) 　　　　　　　　　　　　　　　則無法作任何結論。 所謂鞍點，就是沿著某一方向來看，f 在(a, b)上具有相對極大值，但沿另一方向來看時，f 在(a, b)上又是相對極小。如圖3-5所示。 設點(a, b, ?)滿足 (1)若 且 f 在(a, b)點有相對極小值。 (2)若 則 f 在(a, b)點有相對極大值。 (3)若　　　　　　　　　　　　 則無任 何結論。 充分條件 若 x* = 　　　　　　 滿足 gi (x*) = bi, i = 1,2, …, m且存在一向量 ?* = 　　　　　　 ，使得 同時，假設對於所有 Z ? M ， Z ? 0， 則問題 (P) 在 x* 點有相對極小值。 現代管理數學．Chapter 3　極佳化方法 3-* 張保隆　著 現代管理數學 3 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-7 3-8 3-8 3-9 3-10 現代管理數學．Chapter 3　極