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2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13) (14)10 （15）64 （16） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分为12分） 解：（I）由已知及正弦定理得，， 即． 故． 可得，所以． （II）由已知，． 又，所以． 由已知及余弦定理得，． 故，从而． 所以的周长为． （18）（本小题满分为12分） 解：（I）由已知可得，，所以平面． 又平面，故平面平面． （II）过作，垂足为，由（I）知平面． 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系． 由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，． 由已知，，所以平面． 又平面平面，故，． 由，可得平面，所以为二面角的平面角， ．从而可得． 所以，，，． 设是平面的法向量，则 ，即， 所以可取． 设是平面的法向量，则， 同理可取．则． 故二面角的余弦值为．学科网 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 ； ； ； ； ； ； . 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19. （Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当时， .学科网 当时， . 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选. 20.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为，，故， 所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. （Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，. 由得. 则，. 所以. 过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积 .学科网 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为. 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12. 综上，四边形面积的取值范围为. （21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）． （i）设，则，只有一个零点． （ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，取满足且，则 ， 故存在两个零点． （iii）设，由得或． 若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．学科网 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即． 由于，而，所以 ． 设，则． 所以当时，，而，故当时，． 从而，故． 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设是的中点，连结， 因为，所以，． 在中，，即到直线的距离等于圆的半径，所以直线与⊙相切． （Ⅱ）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线． 由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以． 同理可证，．所以． （23）（本小题满分10分） 解：⑴ （均为参数） ∴ ① ∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ∵ ∴ 即为的极坐标方程 ⑵ 学科网 两边同乘得 即 ② ：化为普通方程为 由题意：和的公共方程所在直线即为 ①—②得：，即为 ∴ ∴ （24）（本小题满分10分） 解：⑴ 如图所示： ⑵ 当，，解得或 当，，解得或 或 当，，解得或 或 综上，或或 ，解集为