离散数学第3章.pptVIP

第三章 函数 §1.函数的基本概念 §2.函数的复合 §3.集合的基数　势理论 第三章 函数（function） §1.函数基本概念 定义1.函数(映射(map)、变换(transformation)) 函数是后者唯一的关系。即 f是由X到Y的函数，记为f :X?Y ? f ?X?Y?(?x?X)(?y?Y)(?z?Y)((x, y)?f ?(x, z)?f ?y=z) 。 注：函数概念主要是限制了关系概念中的一对多；但允许多对一；　 ●与函数概念关联的一些概念 (1)若(x, y)?f ，则函数惯用的记法是y= f(x)；称x为自变量，称y为因变量。 (2)此定义可容纳多值函数 f :X?Y ， f(x) = y1, y2 ,?,yk 其修改为 f :X?2Y ， f(x) = {y1, y2 ,?,yk}?2Y 。 (3)定义域(domain)：称f的前域为f的定义域。即 D(f)={x : x?X ?(?y?Y)((x, y)?f )} ={x : x?X ?(?y?Y)(y= f(x))} (4)值域(range)：称f的后域为f的值域。即 R(f)={ y : y?Y?(?x?X)((x, y)?f )} ={y : y?Y?(?x?X)(y= f(x))} 。 (5)象(image)：子集A ?X的象定义为 f(A)={y : y?Y?(?x?A)((x, y)?f )} ={y : y?Y?(?x?A)(y= f(x))} 。 (6)逆象(inverse image)：子集B?Y的逆象定义为 f -1(B) ={x : x?X?(?y?B)((x, y)?f )} ={x : x?X?(?y?B)(y= f(x))} ； 特别地，单元素y?Y的逆象是 f -1({y}) ={x : x?X?(x, y)?f } ={x : x?X?f(x)=y} 。 (7)全函数（full function）：处处有定义的函数。即 D(f)=X （或者f -1(Y) = X） (8)偏函数(partial function)：部分有定义的函数。即 D(f)?X （或者f -1(Y)?X） 。 　 例5.绝对值函数(absolute value function) 　　　 f ={(x,|x|) : x?R} 　(这里R是实数集)　或者 　　　 f :R?R+?{0} ， f(x) = |x| 　 　 　 (这里R+={x: x?R?x?0}是正实数集)，于是 　　　 D(f)=R , R(f)=R+?{0}； 绝对值函数可以拆成两个函数的并。即 f = f1 ? f 2 ， 这里 f1 ={(x,x) : x?R ?x?0}， D(f1)=R+?{0} , R(f1)=R+?{0}； f2 ={(x,-x) : x?R ?x?0}， D(f2)=R- , R(f2)=R+ ； (这里R-={x: x?R?x? 0}是负实数集)，于是； D(f)= D(f1) ? D(f2)= R , R(f)= R(f1) ? R(f2)=R+?{0} ； 绝对值函数也可采用下面分段定义的形式。即