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第三章 分层抽样 第三章 分层抽样 [教学目的] 通过本章的教学，使学生了解分层抽样的定义、使用场合以及符号；掌握分层抽样估计量及其性质、样本量的分配原则和样本量的确定方法；明确分层抽样的若干问题。 本章结构 （二）作用 1．分层抽样的抽样效率较高，即估计精度较高。 2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算，而且能对各层指标进行推算。 3．层内抽样方法可以不同，而且便于抽样工作的组织。 二、使用场合 1．层内单元具有相同性质，通常按照调查对象的不同类型进行划分。 2．尽可能使层内单元的标志值相近，层间单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精度的要求。 3．既按类型又按层内单元相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。 4．为了抽样组织实施的方便，通常按照行政管理机构设置进行分层。 1 2 3 0 1 2 4 6 11 1 2 1 7 1 13 4 1/2 1/2 例3.2：构造一个虚拟总体，N＝6，分为两层，各层的单元值 如下表： 如果抽样容量为 n＝4，现按比例分配，则有 此时， 的方差由(3.4)式可得： 现若采用Neyman分配，假设各层单位抽样费用相同，由（3.22） 仍按(3.4)式计算可得： 按最小方差公式(3.23)有 可以看到，最优分配下的方差比按比例分配的方差要小的多 理论上的最小方差比实际计算还要小，这是因为实际上 只 能取整数，因而产生的方差比理论最小值稍大一些。 通过这些讨论可知：对样本平均数来讲，简单随机抽样 的方差大于按比例分配的分层抽样方差，当然这是在分层合 理的情况下的规律，而分层抽样中按比例分配方式的方差又 大于最优分配下的方差。 但在具体实施最优分配方案时，可能会发生意外的麻烦 为方便起见，以 Neyman 最优分配为例，假设某一层的方差 特别大(不妨假设 很大)，又整体抽样比 比较大， 此时： 由于不等号严格成立，如果f比较大的话，很有可能发生 的情况。这样我们至少对于该层要实施100％的抽样，若不够 怎么办？自然是将余额 分配到其它各层去，这种再分 配当然也应采用最优原则。仍假定为 Neyman 分配情形，通常 的步骤为： 若 ，则令 (即第一层为普查)，且 这实质上就是将 按 Neyman 分配原则分配到其余层 如果此时所有 ，那么分配完毕，否则，假 如 ，则令 ，而 如果此时所有 ，那么分配完毕，否则，继 续这个过程直到所有的 为止。此时的最优分配所可 能达到的最小方差需要做适当修改： (3.24) 其中 是仅对最后实际分配的 层求和，而 是 这些层中抽取的单元总数。直观上很容易理解它，因为那些 普查的层再也不存在所谓抽样误差，自然要从原来的公式中 去掉。 §3.4 样本量的确定 上一节讨论的分配原则主要是在 n 给定的条件下对各层中的抽样容量的合理分配。本节面临的问题是在分层抽样下如何确定 n 。显然它与调查所要求的精度、调查的统计量、如何分层、各层的样本容量如何分配以及各层单位抽样花费等等因素有关。 1、 待估的总体参数为 （总体平均数） 设此时各层的分配额为 ，那么 若按调查的精度要求， 的最大方差为V，则有 若记 （相当于样本中的层权），并取 n 的一次近似： (3.25) (3.26) 那么 (3.27) 现考虑按比例分配的情况，此时 于是 (3.28) 而 (3.29) 由(3.29)式，一般地，当 远远小于N时，自然取 。 当然实际由(3.29)式计算 n 时，公式中的 应换为 。 假如换为Neyman最优分配，则 (3.30) 假如考虑费用问题，仍按线性费用函数 ，当 V给定时，可以计算得： (3.31) 如果总费用 c 给定，