高考复习第二单9变化率与导数、导数的运算.pptVIP

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值． 解　(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1， 故f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b.又已知f′(1)＝2a， 因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b， 【试一试】 (2011·重庆)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R. (2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x， 从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x. 令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3. 当x∈(－∞，0)时，g′(x)0， 故g(x)在(－∞，0)上为减函数； 当x∈(0,3)时，g′(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数； 当x∈(3，＋∞)时，g′(x)0， 故g(x)在(3，＋∞)上为减函数． 从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.  抓住5个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 第1讲　变化率与导数、导数的运算 【2014年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导. 考点梳理 1．导数的概念 (1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作 (2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导 数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝_______________________， 则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称 为导数． 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的___________，即k＝f′(x0)． 2．导数的几何意义 切线的斜率 若f(x)＝c(c为实数)，则f′(x)＝0； 若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝___________； 若f(x)＝sin x，则f′(x)＝__________； 若f(x)＝cos x，则f′(x)＝____________； 若f(x)＝ax，则f′(x)＝____________(a＞0且a≠1)； 若f(x)＝ex，则f′(x)＝_________； 3．函数f(x)的导函数 αxα－1 cos x －sin x axln a ex 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝______________； (2)[f(x)·g(x)]′＝_____________________； f′(x)g(x)+f(x)g′(x) f′(x)±g′(x) 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于_______的导数与______的导数的乘积. 5．复合函数的导数 yu′·ux′ y对u u对x 4．导数的运算法则 （ g(x)≠0 ） 一个区别 曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别： 1、曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线； 2、曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两点提醒 (1)对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的运算性质转化真数为有理式或整式再求解更为方便． (2)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零． 考点自测 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ? A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析　f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2， ∴f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2. 答案　B 1．(教材改编题)若f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1) ＝ (　　)． 2．下列求导运算正确的是 (　　)． 答案　B 3．(2013·江西六校联考)曲线y＝