高等数学--45曲线凸性、拐点与渐近线.pptVIP

第五节 曲线凸性、拐点与渐近线 4.4.2 曲线的渐近线 4.4.3 函数作图 信息学院 罗捍东 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 4.5.1 曲线凸性与拐点 定义：设函数y=f(x)在(a，b )内可导，如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上凸的（凸弧），称区间(a，b )为该曲线的上凸区间；如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为下凸的（凹弧） ，称区间(a，b )为该曲线的下凸区间或凹区间。 规范的定义：如果函数y=f(x)在(a，b )内任意两点x1，x2都满足： 则称该曲线为上凸。 如果函数y=f(x)在(a，b )内任意两点x1，x2都满足： 则称该曲线为下凸。 定理1：设函数y=f(x)在(a，b )内二阶可导,则有 (1)若在(a，b )内有 ，曲线y=f(x)在(a，b )内下凸。 (2)若在(a，b )内有 ，曲线y=f(x)在(a，b )内上凸。 例1： 解： 注意到, 定义： 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 证： 由可导函数取极值的条件. 拐点的求法 例2： 解： 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 注意: 曲线的上凸区间为 ，下凸区间为 和 ，拐点为（0，1）和 。 例3： 解： 考研题欣赏 （2004年3，4）设 ，则 (A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。 (B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。 (C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。 (D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点。 答案：(C) 定义: 1.垂直渐近线 例1: 两条有垂直渐近线: 解： 2.水平渐近线 例2: 有两条水平渐近线: 解： 3.斜渐近线 斜渐近线求法: 注意: 例3： 解： 考研题欣赏 （2000年3，4）曲线 （A）仅有水平渐近线。 （B）仅有铅直渐近线。 （C）既有铅直又有水平渐近线。 （D）既有铅直又有斜渐近线。 答案：(D) 考研题欣赏 （2003年3,4）曲线 的单调区间、极值、渐近线。 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步 * *