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第九章
双变量回归与相关
本章内容:
第一节 直线回归
第二节 直线相关
第三节 秩相关
第四节 加权直线回归(不讲)
第五节 两条回归直线的比较(不讲)
第六节 曲线拟合(简单介绍)
双变量计量资料:每个个体有两个变量值
总体:无限或有限对变量值
样本:从总体随机抽取的n对变量值
(X ,Y ), (X ,Y ), …, (X ,Y )
1 1 2 2 n n
目的:研究X和Y的数量关系
方法:回归与相关
简单、基本——直线回归、直线相关
第一节 直线回归
一、直线回归的概念
目的:研究应变量Y对自变量X的数量依
存关系。
特点:统计关系。 X值和Y的均数的关系,
不同于一般数学上的X 和Y的函数
关系。
为了直观地说明直线回归的概念,
以8名儿童的年龄(岁)与其尿肌酐
含量(mmol/24h )数据(见例9-1)在
坐标纸上描点,得到图9-1所示散点
图(scatter plot )。
在定量描述儿童年龄与其尿肌酐
含量数量上的依存关系时,将年龄
称为 自变量(independent variable) ,用
X 表示;尿肌酐含量称为应变量
(dependent variable),用 Y 表示。
由图9-1可见,尿肌酐含量 Y 随年龄X 增
加而增大且呈直线趋势,但并非8个点子恰好
全都在一直线上,此与两变量间严格的直线
函数关系不同,称为直线回归 (linear regression ),
其方程叫直线回归方程,以区别严格意义的直线方
程。
回归是回归分析中最基本、最简单的一种,故
又称简单回归。
直线回归方程的一般表达式为
ˆ
Y a bX (9 1)
ˆ 为各X处Y 的总体均数的估计。
Y
1.a 为回归直线在Y 轴上的截
距。
a 0 ,表示直线与纵轴的交点在
原点的上方;
a 0,则交点在原点的下方;
a = 0,则回归直线通过原点。
2. b为回归系数,即直线的斜率。
b0 ,直线从左下方走向右上方,Y 随 X 增大而增
大;
b0 ,直线从左上方走向右下方,Y 随 X 增大而减
小;
b=0,表示直线与X 轴平行,X 与Y 无直线关系。
b 的统计学意义是:X 每增加(减)一个
单位,Y 平均改变b个单位。
公式(9-1 )称为样本回归方程,它
是对两变量总体间线性关系的一个估计。
根据散点图我们可以假定,对于X 各个取
值,相应Y 的总体均数Y | X 在一条直线上
(图 ),表示为
9-2
Y | X X (9 2)
历史背景:
英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗
传》一书中,提出并阐明了“相关”和“相关系
数”两个概念,为相关论奠定了基础。其后,
他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭
的身高、臂长、拃长(伸开大拇指与中指两端
的最大长度)做了测量,发现:
儿子身高( Y ,英寸)与父亲身高
(X ,英寸)存在线性关系:
ˆ
Y 33.73 0.516 X
也即高个子父代的子代在成
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