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连续函数压缩映射问题的讨论 摘要 本文从课本上一个例题出发引出不动点原理，首先介绍了不动点原理在数学分析课程中的重要应用如数列极限问题等，并指出了应用不动点原理时所使用的技巧和方法.。其次给出其在方程组求解，数学建模来等方面的例子说明不动点原理的广泛应用，以及其在范函分析中更加一般的形式。最后通过介绍其在图像处理，导航系统及经济领域的应用来阐明创新思想的重要性，进一步开拓学生的思路,让学生有更多的想像空间。 关键字：不动点; 连续函数; 函数方程; 数列极限；应用 引言：在数学分析中,我们会遇到证明某些函数方程在指定的区间内有实根,或判定某些递推数列存在极限等问题，下例便是一个比较典型的： 例1 设把区间映射成,并且存在,使得对于任意,有,则 内存在唯一的不动点,满足; 对任意初始值,迭代序列收敛于; . 证明：(1) 存在性：由条件知函数在上连续。构造函数显然它也在上连续，且满足： ，。 由连续函数的介值性定理知必存在一点满足即。 唯一性：假设存在两点满足：，，则由已知条件有 . 矛盾. (2) , 由知 . (3)由 知 ，两端令即得。 这个结论就是著名的不定点理论，也成为压缩映射原理。例题不仅给出了收敛条件,而且还给出了收敛误差的估计.可以看出,越小收敛越快。 不动点定理在求数列极限中的应用 由例一我们可以得到如下推论： 推论1：对数列若存在常数,使得对任意的都有，则收敛。 推论2：对数列若存在常数,使得，则收敛。 证明: 由 知,所以是基本列,从而收敛. 下面我们看一下不动点定理在求数列极限中的应用。 例2.设，求证数列收敛并求极限。 证明 ：易知，我们在区间上考虑函数，对任意的有，，即是上的压缩映像，从而收敛于方程的解.设得。 例3. 设,求证收敛并求其极限. 证明:显然有, 根据推论2知收敛，再由易知其极限为. 一般地，对于一个数列，在给出数列的递推公式的情况下， 通常需要求数列的通项公式，下面介绍用不动点法求通项公式的递推数列，首先我们给出如下定理： 定理1：若数列满足，若其递推函数有不动点，则数列是以为公比的等比数列。 证明：由为不动点知，所以有 . 显然结论成立。 例4. 数列满足求数列通项。 解： 其递推函数为解得不动点.由为公比为的等比数列,且其首项为,所以通项为. 当函数在上可导时，根据微分中值定理我们有如下结论： 推论3：若函数在上可导且，是一个压缩映射。 证明：对任意的当时都有，， 则显然是一个压缩映像。 例5. 设，证明收敛并求其极限. 证明： 设，则易知 且，所以有唯一不动点，易的。 所以极限为. 不动点定理在数学模型中的应用 如果函数在是一个连续函数，则根据连续函数的介值性定理可知： 推论4.若函数在连续且满足，则在至少有一个不动点。 例 6. 日常生活中会有这样的体验：把椅子放在不平的地面上时通常三条腿着地放不稳，但是稍微挪动几次就可以使四条腿着地而放平稳。现我们把该现象建模为一个数学问题，通过不动点定理来进行解释。 解：模型假设：（1）椅子四条腿长度一样，与地面接触为一点，且四点连线为正方形。 （2）地面高度连续变化。 （3）椅子在任何位置都有三只腿着地。 （4）椅子转动时中心不变。 模型建立及求解：设着地点为建立如图坐标系，设为AC转动后和轴夹角，显然，为A，C两点于地面距离之和，为B，D两点于地面距离之和。 由地面平坦假设知，均连续。由 椅子至少三条腿着地知对任意，，至少有一个为零。 若在初始位置，时有，则时必有， 数学问题为：寻找一个使得等于零。显然 ，由不动点定理知必存在使 即 三、不动点定理在方程求解中的应用 对于一般的次代数方程 ， 根据代数基本定理我们知道它有个根，而且对于数值的一元二次方程我们还有其求根公式，但是当求根公式不再存在。另一类超越方程例如著名的Kepler方程: 它不存在求解公式。对于非线性方程 （1） 一般都不存在求根公式，故没有直接求法，对于这些方程都要使用迭代法来求解。不动点迭代法就是期中的重要方法。首先将方程（1）改写成 （2） 要求解满足（1）的根，即求解（2）的不动点。选择一个初始值，将它带入（2）中得到迭代序列 如果函数满足压缩映射的条件，则根据定理可知。 不动点迭代的过程如图所示：方程求根问题就是确定曲线和直线的交点。迭代过程就是沿图示肩头所示方向不断寻找的过程。 在实际计算当中肯定不能取到无穷，那么如何来判断是否达到不定点，即收敛速度？例1中的结论不但告诉了我们收敛的条件，而且告诉了我们收敛的速度。 例 7. 求