线性代数第五章.ppt

第五章 特征值 特征向量 二次型 第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵的特征值与特征向量 第三讲 相似矩阵与实对称矩阵的对角化 第四讲 二次型及其标准形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课 第一讲　正交向量组与正交矩阵 一．向量的内积与许瓦兹 （Schwarz）不等式 １．内积 　　内积定义：对　维列向量 　　　　　　　 　 称　　　　　　　　　　　　　　 为向量　与　的内积，记为　　　． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第二讲 方阵的特征值和特征向量 一. 方阵的特征值和特征向量 若记 则 （5.19) 称为二次型的矩阵表示式 其中 即 为对称矩阵。 例如：二次型 例如：二次型 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一 个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 定义：对称矩阵 称为二次型 的矩阵，把 称为对称矩阵 的二次型；对称矩阵 的秩就 叫做二次型的秩。如果一个二次型的矩阵是实 对称矩阵，则称其为实二次型。 例：求二次型 的矩阵 解： 例：求对称矩阵 所对应的二次型。 解： 对二次型，要讨论的主要问题是，寻求可逆的线性变换 (5.20) 其中 可逆 使二次型只含平方项，即将(5.20)代入（5.19）后，二次型变为 （5.19） （5.21） 这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形 寻求可逆变换 化二次型为标准形的问题 就是对实对称矩阵 寻求可逆变化矩阵 使 为对角矩阵的问题。 二.用正交变化化二次型为标准形 定理5.12 任给实二次型 总有正交变换 使 化为标准形 为 其中 的特征值。 例5.10 求正交变换 ，把二次型 化为标准形。 解：二次型的矩阵 它的的特征多项式为 所以 的特征值为 对 解 得基础解系 规范化得 对 解 得基础解系 由于它们已正交，只需规范化得 推论 若 阶方阵 与对角矩阵 相似,则 为 的 个特征值. 2. 讨论 我们下来要讨论2个问题： 问题1:是否任何方阵都于某个对角矩阵相似? 问题2:若 与某个对角矩阵 相似,即存在可逆方阵 , 使 ,那么 如何构造? 我们先假设存在可逆矩阵 ，使 将 用其列向量表示为 由 得 ，即 于是 ，这说明 是 的特征值， 是 的对应于特征值 的特征向量。这就是 的具体构造方法。 余下的问题是 是否可逆，即 是否线性无关。因为若 可逆，则 即 与对角矩阵 相似。 定理5.8 方阵 与对角矩阵相似（方阵 可对角化）的充要条件是 为非亏损矩阵。 例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解： 得 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 当 时，解 得基础解系 所以 不能化为对角矩阵. 小结： 我们这节课学习的主要内容为矩 阵的特征值和特征向量，相似矩阵。 其中大家必须理解矩阵的特征值和 特征向量的概念，掌握矩阵的特征值 和特征向量的求法，了解相似矩阵。 二.实对称矩阵的对角化 定理5.9 实对称矩阵的特征值为实数。 定理5.9的意义： 又因为 ，可知该齐次线性方程组一 定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取 实向量。 因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次 线性方程组 是实系数方程组。 对于实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量 不仅线性无关，而且还有更强的结论，这就是 定理5.10 设 是实对称矩阵 的两个 特征值， 为对应的特征向量,若 则 正交。 证明：已知 由 对称知 于是