第四讲-医学图像重建算法.doc

一、断层成像的基本原理 1.1 断层成像 这样我们用数学方法解决了一个断层成像问题。 一般来说，断层成像都是用数学计算的手段解决的。怪不得有CT (Computed Tomography 计算机断层成像，直译为： 计算出的断层成像) 这个词。通常为说话简捷起见，“计算出的” 这几个字就略去不说了。矩阵每一行的和，每一列的和的概念可以推广为一个图像的射线和，线积分，和投影数据。 从物体的投影数据来得到物体的内部断层成像的过程就称之为图像重建。 1.2 投影 为了体会出投影 (也就是射线和，线积分) 的概念，我们在这里给出几个例子。 第一个例子： 所考虑的物体是二维x-y平面中的一个均匀圆盘。圆盘的圆心在坐标原点。圆盘的线密度函数是个常数ρ (图1.4)。 物体的投影值(即线积分值) 就是弦长 t 乘以线密度ρ。 其数学表达式为： 在这个特例中，投影值 p(s) 对于所有的角度 θ 来说都是一样的。这个角度θ 是探测器相对于物体的旋转角度。 图 1.4 跨圆盘的线积分等于弦长乘以线密度 图 1.5 物体的投影在不同的探测角度是不同的 图 1.7 投影值实际上是像素值的加权和。权函数是 “线” 在像素内的线段长度。 1.3 图像重建 我们来探索重建一个点源的步骤及策略。 这些步骤和策略可以推而广之，来解决一般的图像重建问题。 我们首先在二维 x-y 坐标系中随便放一个点源。点源的位置不一定要在坐标系的原点 (图1.8)。我们设想有一个探测器绕着坐标系的原点旋转。旋转角为θ。这个探测器可以是架照相机。探测器测到的投影数据为 p(s,θ)，这里s是探测器上的一维坐标。 图 1.8 点源物体投影数据的采集 计算投影数据 计算投影数据 p(s,θ)，我们可以画出一条条垂直于探 测器的直线。然后沿着这些直线对物体求线积分。 对于点源物体，投影数据 p(s,θ) 可以简单地得到： 这只需在 x-y 平面上过该点源向探测器作一条垂线。 这条垂线与探测器的交点位置 s 有一个高度为 1 的脉冲。 若垂线不经过点源，线积分的值p(s,θ) 则为零。 算出投影数据 p(s, θ) 后，我们就可以着手重建图像了。 重建图像策略：先投影在重建 我们的策略与寻找大树位置的策略相似： 沿着照片上的大树画垂线，每张照片给出一组垂线，再寻找这些垂线的交点。 点源图像重建的任务包含两个方面： 一是找出点源的位置； 二是找出它的数值。 在每个角度θ，投影数据 p(s,θ) 有一个高度为一的脉冲。这个脉冲是投影“路径” 上所有数值的总和。 图像重建就必须把这个脉冲的数值重新分布在原来的投影路径上。（反投影） 撒种子：好像你手里提着一袋种子，你要把种子撒在投影的路径上。但是均匀地撒 (图B)。 线性叠加：对多个探测角度重复这个 “撒种子” 工作便可得到如图 (C)所示的图形。基于线性叠加的效果，在 x-y 平面上原来点源的位置，可得到一个高高的脉冲。 做的 “撒种子” 劳动是个很平常的数学运算，叫做反投影。 如果做 360° 的反投影，得到像图 (D)所示的分布图形。 做了反投影之后，所得的图像确实变得有模有样了。但是与原本的图像比较起来还是不一样。它的边缘模糊不清。为了让图像变得清晰，我们人为地在投影数据脉冲的两边添了一对负值的 “翅膀” (图E)，然后再做反投影。结果，这一招得出了出人意料的好图像 (图F)。 滤波：添的两个负值“翅膀”的运作叫做滤波。这个先滤波再做反投影的图像重建算法叫 FBP 算法。FBP 是英文 Filtered Backprojection (先滤波再做反投影)的缩写。 FBP 算法极其有名，在图像重建领域里无人不晓。 图 1.9 反投影原始数据和靠反投影滤波后的数据来重建点源图像 1.4 反投影 反投影的定义取决于投影是如何定义的。 反投影运算并不是投影运算的逆运算。 用数学语言说，反投影算子不是投影算子的逆算子。 仅仅靠反投影是不能重建图像的。对原始数据做反投影还得不到原本的图像。 纵使反投影图像和原本的图像不同，它们之间有着密切的联系。 1.6 分析 1、 如图 1.12 所示，在那两张照片中都可以看到两棵不重叠的大树。你可以唯一地画出那两棵树的地图吗? 若不行的话，你也许需要多照些照片。如果你只允许再多照一张照片，选个什么角度照呢? 图 1.12 每张照片上都可看到两棵树 幻灯片21 不失一般性，我们可以假设圆盘的圆心在 x 轴的正方向 (r, 0) 处。 那么，物体的位移等价于投影数据在探测器 s 轴上的位移。在 s 轴上的位移距离是 rcosθ 。 那么， 幻灯片23 23 二、 平行光束图像重建 2.1 傅里叶变换