广义逆矩阵表达式及计算-西昌学院学报.PDFVIP

第22卷第2期 西昌学院学报·自然科学版 Vol.22，NO.2 2008年6月 JournalofXichangCollege·NaturalScienceEdition Jun.，2008 第2期 广义逆矩阵表达式及计算 张礼平 ，喻惠波1 2 （1.西昌学院，四川 西昌 615022；2.四川省凉山州劳动职业技术学校，四川 西昌 615000） 【摘 要】本文主要从矩阵的初等变换分解式中给出满足一个条件的广义逆矩阵的一般表达形式，并用Excel的数组公式 来具体计算一个给定矩阵A的广义逆矩阵，简介广义逆矩阵在解线性方程组方面的应用。 【关键词】广义逆矩阵；数组公式；线性方程组 【中图分类号】O151.21 【文献标识码】A 【文章编号】1673-1891（2008）02-0039-04 [1-4] 使GAG=G，且根据分块矩阵乘法分块要求，仍可设 讨论广义逆矩阵及其应用的文章、书籍 很 多，得到的结果也很丰富，本文从另一方式讨论它 r×r G= ，其中X1 ∈F ，GAG= 的表达式，用Excel来具体计算一个给定矩阵A的广 义逆矩阵 P Q 1 广义逆矩阵的一般表达形式： m×n n×m 设A∈R ，若存在G∈R ，满足以下四个等 = 式： ①AGA=A ②GAG=G = ③(AG)T T =AG ④(GA) =GA 中的一部分或全部，则称G为矩阵A的一个广义逆 =G= ，解得X12=X ，X 是(X-E)1 2 1 r 矩阵。按此定义，广义逆矩阵的种类很多，满足四 个等式中的一个、两个、三个或全部的广义逆矩阵 X=0 的r×(m-r)阶矩阵解，X 是X(X-E)=0 的3 1 r 依次有 =15类，为方便我们用A{1} (n-r)×r阶矩阵解，X=XX 。 4 3 2 为满足条件①的所有广义逆矩阵构成的集合，用A 故取G= ，其中X1是任意r阶幂 {1，4}为满足条件①④的所有广义逆矩阵构成的集 合，其他类似。 等阵，X2是满足(X-E)X=0的任意r×(m-r)阶矩阵，1 r 1.1满足第一个等式AGA=A的广义逆矩阵G，不唯 X3是满足X(X-E)=0的任意(n-r)×r阶矩阵。特别1 r 一。对于某一固定的广义逆，记作A- ，称为矩阵A 地可取一类特殊的G= ，X2、X任意。3 的一个减号逆。对于任意矩阵A，减号逆A-总存在， T 1.3满足第三个等式(AG) =AG的广义逆矩阵G，为 它的求法也很多，下面介绍一种新的求法。 T m×n m×n 了使(AG) =AG，且根据分块矩阵乘法分块要求，可 对于A∈R ，由