正定矩阵与性质.pptxVIP

1 1 正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质 2 2 一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型是不定的. 3 3 这就证明了条件的充分性. 4 推论 若A是正定矩阵,则|A|0. 证明 4 5 5 解 6 6 7 7 例设A为n阶实对称矩阵,且满足 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 为 的特征值,故 8 8 无实根.A的特征值为1,n重故 A是正定矩阵. 9 9 10 定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 ,由于P可逆,PX≠o,故 设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP. 11 例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则 为对角形. 12 例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必要性设AB正定,则AB对称, 充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定. 13 13 为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进 定义 给定实对称矩阵 则其前s行前s列元素组成的行列式 称为A的顺序主子式.即 14 14 15 15 充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式0.要证明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然: 设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩阵G,使得 令 则 再令 16 16 17 17 18 18 例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性. 解 故A正定. 19 19 实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 3. 可逆. 4.A的顺序主子式全是正数. 5.A的主子式全是正数. 20 20 例 判断下列二次型是否正定: 21 22 例 t在什么范围取值时二次型 是正定二次型? 解 23 24 定义 实对称矩阵A的第 行和第 列的元素组成的行列式称为主子式. 例如 是2阶主子式.其中只有 是2阶顺序主子式. 25 25 三、正定矩阵的性质 1.若A为正定矩阵,则|A|0,A可逆. 2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵. 证明 A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定. 3.正定矩阵的对角线元素都是正数. 4. A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵. 5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵. 6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT. 7. A为正定矩阵,A 的所有主子式大于零. 26 26 27 27 的若干性质 1.若A为n阶可逆矩阵,则 为正定矩阵. 证明 是实对称矩阵 .对于任意 A可逆, 否则 故 正定. 证明 任意 A的列向量组线性无关, 28 的列向量组线性相关，存在n维列向量 使得 ,于是 故 不是正定矩阵。 29 29 3.若A为 矩阵,且 则 和 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定