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关于实数连续性的 6 个基本定理的互证 中国人民大学2006 级经济学数学双学位实验班 张磊 首先 6 个定理表述如下： 确界定理:在实数系 R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在. 单调有界原理:若数列 x 单调上升有上界，则 x 必有极限. { } { } n n 区间套定理:设 a ,b 是一个区间套,则必存在唯一的实数 r,使得 r 包含在 {[ n n ]} ∞ 所有的区间里,即r ∈ a ,b . ∩[ n n ] n 1 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖. 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列. 柯西收敛定理：在实数系中，数列 x 有极限存在的充分必要条件是： { } n ∀ε 0, ∃N , 当n N ,m N 时，有 x −x ε n m 一、确界定理证明其他定理 1、确界定理证明单调有界定理 证明：设 x 是单调上升有上界的实数列. 由确界定理可得，∃r ，使 { } n r=sup x . { } n n x∴∀r , 有 ≤ ，并且∀ε 0, ∃x , 有x r −ε n N N ∴∀n N ,有r −ε ≤xN ≤xn ≤r ，即| xn −r |ε 2、确界定理证明区间套定理 证明：由 a ,b ⊂ a ,b ，知 a 是单调上升有上界的实数列， b 是单调下 [ ] [ ] { } { } n+1 n+1 n n n n 降有下界的数列.且 是 的上界， 是 的下界.设 = r， = ′ ，由 b1 a n a 1 bn lim a n lim bn r →n ∞ →n ∞ 确界定理对