[北京交通大学信号与系统课件]ch3-5离散时间LTI系统的响应.docVIP

3.5 离散时间LTI系统的响应 1. 迭代法 2. 经典时域分析方法 常用激励信号对应的特解形式 例2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y[0]=0, y[1]=-1, 输入信号f[k]=2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。 2) 求非齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] =f[k] 的特解yp[k] 经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。 二 卷积法 例3：已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k]。 例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k]。 [解] 系统的特征方程为 例5 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y[-1]=2， y[-2]= -1， y[-3]= 8，求系统的零输入响应yx[k]。 2、 系统的零状态响应 定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f[k]产生的响应，用yf [k]表示。 求解系统的零状态响应yf [k]方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 卷积法求解系统零状态响应yf [k]的思路 1) 将任意信号分解为冲激信号序列的线性组合 2) 求出冲激信号作用在系统上的响应冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，求出冲激信号序列作用在系统上的响应，即系统在任意信号f[k]激励下的零状态响应yf[k] 。 例6 若描述某离散系统的差分方程为 * 2. 经典时域分析方法: 求解差分方程 3. 卷积法: 系统完全响应=零输入响应+零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用卷积和可求出零状态响应 系统响应求解方法: 1. 迭代法 已知n个初始条件{y[-1], y[-2], y[-2],????,y[-n] }和输入，由差分方程迭代出系统的输出。 例1: 一阶线性常系数差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k], y[-1]=1，用递推法求解差分方程。 解：将差分方程写成： 代入初始条件，可求得 依此类推 缺点：很难得到闭合形式的解。 差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh[k]和特解yp[k]组成: 齐次解的形式: (1) 特征根是不等实根r1, r2, ?, rn (2) 特征根是等实根r1=r2=?=rn (3) 特征根是成对共轭复根 ak (a不是特征根) ak (a是特征根) 特征根为 齐次解yh[k] 解 (1)求齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] = 0的齐次解yh[k] 特征方程为 解得 C1=-1，C2= 1 由输入f [k]的形式，设方程的特解为 将特解带入原差分方程即可求得常数A=-2。 3) 求方程的全解 将初始条件代入： 讨论1)：若输入信号 f[k] = sin?0 k u[k]，求系统的完全响应y[k]。 讨论2)：若初始条件y[0]=1, y[1]=1, 求系统的完全响应y[k]。 系统完全响应=零输入响应+零状态响应 1. 系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型: 求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式， 再由初始条件确定待定系数。 [解] 系统的特征方程为 特征根为 设系统的零输入响应yx[k]为 解得 C1=1，C2=-2 代入初始条件： 特征根为 （两相等实根） 设系统的零输入响应为 解得 C1 =4, C2=4 代入初始条件： [解] 系统的特征方程为 系统的特征根为 设系统的零输入响应为 解得 C1=1，C2=0 ，C5=5 由时不变特性 由均匀特性 由叠加特性 已知激励 求系统的零状态响应yf [k]。 解：系统的零状态响应为 * 输入信号 特解