[北京交通大学信号与系统课件]ch3-2连续时间LTI系统的响应.docVIP

3.2 连续时间LTI系统的响应 1. 经典时域分析方法 常用激励信号对应的特解形式 经典时域分析方法解题思路 微分方程完全解＝齐次解+特解 1.求齐次解yh(t) ：由特征方程求特征根，设齐次解形式 2.求特解yp(t)：由输入(微分方程等号右端)形式，设特解形式，代入微分方程，即求得特解 3.求完全解y(t)：将初始条件代入齐次解与特解相加的式子，即求得齐次解，从而得到完全解 例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=e-t u(t)，求系统的完全响应y(t)。 2) 求非齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t) 经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。 二 卷积法 例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y(0-)=1，y (0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。 例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=2，y(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。 [解] 系统的特征方程为 例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。 2、 系统的零状态响应 定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应，用yf (t)表示。 求解系统的零状态响应yf (t)方法： 1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路 1. 将任意信号分解为冲激信号序列的线性组合 2. 求出冲激信号作用在系统上的响应――冲激响应 3. 利用线性时不变(LTI)系统的特性，求出冲激信号序列作用在系统上的响应，即系统在任意信号f (t)激励下的零状态响应yf (t) 。 例5 已知某LTI系统的动态方程式为2y(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=e-3t u(t), f(t)=3u(t), 试求系统的零状态响应yf(t)。 * 1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2.卷积法: 系统完全响应=零输入响应+零状态响应 求解齐次微分方程得到零输入响应 利用卷积积分可求出零状态响应 系统响应求解方法: 微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成: 齐次解的形式: (1) 特征根是不等实根s1, s2, ?, sn (2) 特征根是等实根s1=s2=?=sn (3) 特征根是成对共轭复根 特征根为 齐次解yh(t) 解 (1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t) 特征方程为 解得 A=5/2，B= -11/6 由输入f (t)的形式，设方程的特解为 yp(t)=Ce-t 将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。 3) 求方程的全解 讨论1)：若输入信号 f(t) = sin t u(t)，求系统的完全响应y(t)。 讨论2)：若初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 求系统的完全响应y(t)。 系统完全响应=零输入响应+零状态响应 1. 系统的零输入响应yx(t)是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型: 求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式， 再由初始条件代入所设零输入响应式子，确定待定系数。 [解] 系统的特征方程为 系统的特征根为 设系统的零输入响应yx(t)为 y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yx(0-)= - 2K1-3K2 =3 解得 K1=6，K2=-5 系统的特征根为 （两相等实根） 设系统的零输入响应为 y(0-)=yx(0-)=K1=1; y(0-)= yx(0-)=-2K1+K2 =3 解得 K1 =2, K2=3 [解] 系统的特征方程为 系统的特征根为 设系统的零输入响应为 y(0-)=yx(0-)=K1=1 y (0-)= yx(0-)=-K1+2K2 =3 解得 K1=1，K2=2 由时不变特性 由均匀特性 由叠加特性 [解] * 输入信号 特解 K A Kt A+Bt Ke-at(特征根s((a) Ae-at Ke-at(特征根s=(a) Ate-at Ksin(0t或 Kcos(0t Asin(0t+ Bcos(0t Ke-atsin(0t或 Ke-atcos(0t Ae-atsin(0t+ Be-atc