时间序列分析第四章arma模型特性王振龙第二版.pptVIP

第四章 ARMA模型的特性 4.1 格林函数和平稳性 它的特征方程为： 二、AR(1)系统的格林函数 1、AR(n)模型的自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1) Xt=?1Xt-1+ at 的k阶滞后自协方差为： Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 + at 该模型的方差?0以及滞后1期与2期的自协方差?1, ?2分别为 一般地，n阶自回归模型AR(n) Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 +… ?nXt-n + at 其中： λi是AR(n)特征方程?(λ)=0的特征根，由AR(n)平稳的条件知，| λi|1; 因此，AR模型的自相关函数具有以下特点： 对MA(1)模型 其自协方差函数为 二、偏自相关函数(系数) 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项at，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为 MA(1)过程可以等价地写成at关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的形式： 与MA(1)相仿，可以验证MA(m)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。 ARMA(n,m)的自相关函数，可以看作MA(m)的自相关函数和AR(n)的自相关函数的混合物。 当n=0时，它具有截尾性质； 当m=0时，它具有拖尾性质； 当n、m都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常： ARMA(n，m)过程的偏自相关函数（PACF）可能在n阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从n阶滞后项开始逐渐趋向于零； 而它的自相关函数（ACF）则是在m阶滞后前有几项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。 ２阶自回归模型AR(2) 2 2 2 1 1 0 a s g j g j g + + = 类似地,可写出一般的k期滞后自协方差： 2 2 1 1 2 2 1 1 )) ( ( - - - - - + = + + = k k t t t k t k r X X X E j g j a j j g (k=2,3,…) 于是,AR(2)的k 阶自相关函数为： (k=2,3,…) 其中 :?1=?1/(1-?2), ?0=1 k期滞后协方差为: L n k n k k - - - + + + = g j g j g j L 2 2 1 1 t n t n t t k t k X X X X E - - - - + + + + = a j j j g 2 2 1 1 )) ( ( 从而有自相关函数 : 可见，无论k有多大， ?k的计算均与其１到n阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。 如果AR(n)是平稳的，则|?k|递减且趋于零。 事实上，自相关函数 是一n阶差分方程，其通解为 1.拖尾性 2.被负指数控制收敛到零 2、MA(m)模型 1 - - = t t t X qa a 可容易地写出它的自协方差系数： L 0 3 2 = = = g g 2 1 - = qs g a ) 1 ( 2 2 0 + = s q g a 于是，MA(1)模型的自相关函数为： 可见，当k1时，?k=0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。 一般地，m阶移动平均模型MA(m) 相应的自相关函数为 可见，当km时， Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当km时， ?k=0是MA(m)的一个特征。 于是：可以根据自相关函数是否从某一点开始一直为0来判断MA(m)模型的阶。 自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-k的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。 例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的: 即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。 与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partial autocorrelation，简记为PACF(k)则是消除了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1 带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。 在AR(1)中， 同样地，在AR(n)过程中，对所有的kn，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。 AR(n)的一个主要特征是:kn时， ?k*=Corr(Xt,Xt-k |Xt-1,…,Xt-k+1)=0 即?k*在n以后是截尾的。 一随机时间序列的识别