概率论基础-第二章 条件概率与统计独立性.pptVIP

当 n 很大, p 很小时, 二项分布就可近似看成是参数 ? = n p 的泊松分布，即: 泊松定理表明: 泊松分布是二项分布的极限分布. 用二项分布的泊松近似计算前面的例3： Excel函数：POISSON( ). 泊松分布的计算: POISSON( ,0)= POISSON( ,1)= 三、泊松分布 近几十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。 ①在大量重复试验中稀有事件出现的次数近似服从泊松分布，如意外事故，非常见病，大的自然灾害. ②排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数,电话交换台的呼叫数,网站访问数,公共汽车站来到的乘客数. ③放射源衰变产生的粒子数. 图形特点: 产生泊松分布的机制分析 我们先证明一个以后要屡次用到的数学分析结论. 泊松过程: 考虑来到某交换装置的电话呼叫数，假定它具有下面三个性质： （i）平稳性: 在 中来到的呼叫数只与时间间隔长度 t 有关而与时间的起点t0 无关。 （ii）独立增量性(无后效性): 在 中来到k次呼叫与时刻t0以前发生的事件独立. (iii) 普通性: 在充分小的时间间隔内, 最多来到一个呼叫. 若以 记在长度为t的时间区间中来到的呼叫数, 而 则显然有： 平稳性表示了它的概率规律不随时间的推移而改变. 独立增量性表明互不相交的时间区间内过程进行的相互独立性。 普通性表明，在同一时间瞬间来到两个或两个以上呼叫实际上是不可能的。 下面我们来求 对 , 考虑 中发生k次事件概率 , 由独立增量性及全概率公式 （ ,对 ，假定 ） 表示在长度为t 的时间间隔中没有来呼叫的概率，因此它关于t 单调下降，由前面的引理知： (6) 因此,当 时,我们有 故由(6)式得： 因此, 令 , 得 由于已知 ,故有 这样下去，可解得一切 这正是参数为?t 的泊松分布. 证毕. 习题二 第三周：第 3、8、9、16、17题 第四周：第 21、24、27、30 题 第五周：第 32、38、43、44、48题 * * * * * * * * * 记Ck={第r次成功发生在第k次}, 记 f (k; r, p)= P(Ck), Ck={前k-1次成功r-1次,且第k次成功}, 则 4. 帕斯卡(Pascal)分布 称 f (k; r, p)为帕斯卡分布。当r =1时，为几何分布。 注:伯努利试验中第r次成功之前失败次数为l次的概率为: 令l=k-r, 即第r次成功之前失败的次数，则有 分赌注问题: 帕斯卡分布的起源 甲、乙两赌徒按某种方式下注赌博，先胜t局者将赢 得全部赌注，但进行到甲胜r局、乙胜s局(rt, st)时， 因故不得不中止,试问如何分配这些赌注才公平合理？ 分配建议： 用r : s来分配 用甲乙最终取胜的概率P甲：P乙来分配. 分析： 甲若想获胜，需要再胜n=t-r局; 乙若想获胜，需要再胜m=t-s局; 对每一局，记A={甲胜}, P(A)=p, P(Ac)=q=1-p; 甲若想获胜，当甲再胜n局时，乙再胜的局数km局，即A的第n次出现发生在第n+k次(km)试验，则 或者当乙再胜m局时，甲再胜的局数k=n局， 即Ac 的第m次出现发生在第m+k次(k≥n)试验，则 易证: 再赌n+m-1局可以决定胜负 甲若想获胜,必须在n+m-1局中至少胜n次， 根据二项分布: 可以证明上述三个答案是一致的。 小概率事件必然发生 三.直线上的随机游动 考虑x轴上的一个质点, 在时刻t=0时, 它处于初始位置a (a是整数)，以后每隔单位时间, 分别以概率p及概率q=1－p向正的或负的方向移动一个单位。用这种方式描述的质点的运动称为随机游动。 当p=q=1/2时, 随机游动称为对称的, 这时质点向左或向右移动的可能性相等。 若质点可以在整个数轴的整数点上游动，则称这种随机游动为无限制随机游动。 若在d点设有一个吸收壁，质点一到达这点即被吸收而不再游动，因而整个游动就结束，这种随机游动称为在d点有吸收壁的随机游动。 在随机游动模型中，我们所关心的是质点在时刻 t=n 时的位置。 1.无限制随机游动:有无穷赌本的赌徒在n局后的输赢 假定质点在时