数学人教版九年级上册抛物线与特殊三角形.docx

抛物线与特殊三角形 抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊的三角形，有以下常见的形式： （1）抛物线上的点能否构成等腰三角形； （2）抛物线上的点能否构成直角三角形。 这类问题把抛物线的性质和平面几何的性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 题型一、抛物线与等腰三角形 [例1].如图，已知抛物线经过,,三点，直线是抛物线的对称轴。 （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点坐标； （3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。 解：（1）因为抛物线经过，,三点， 所以，解得，故所求为。 （2）如图1，由（1）知抛物线为，其对称轴为。,因为点关于对称，所以连交于点，则点即为所求的点。连，则,为最小，此时的周长最小。 设直线为，则，解得， 所以直线为。 由，解得，故所求点为。 （3）解法1：存在。依题意知。 在中，有。 eq \o\ac(○,1)当时，如图2，以为圆心，长为半径作交于点，，连，，设与轴交于点，则, 所以。 在中，有,由垂径定理知,所以点，。 eq \o\ac(○,2)当时，如图3，以为圆心，为半径作交于，。 因为,,所以，所以,即点与点重合，所以点。 又因为,所以是的直径，即三点共线，不能构成三角形。 eq \o\ac(○,3)当时，此时点在的垂直平分线上，作的垂直平分线交于,交于，交轴于。 如图4，则，且,所以,即， 所以，,即点。 过点作于，则,所以, 所以，所以。 过点作于，同理,所以。 设直线为，则，解得。 所以直线为。当时，，所以点。 综上满足条件的点为，，，。 解法2：设点，如图5，，,在中，有；过点作于，则，,。 在中，有； 中，有。 eq \o\ac(○,1)当时，有，解得，此时点,; eq \o\ac(○,2)当时，有，解得或。 因为当时，点共线，不能构成三角形。 所以此时点； eq \o\ac(○,3)当时，有，解得，此时点。 综上，满足条件的点为，，，。 【小结】点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求满足条件的点的坐标或存在性的探究）。求点的坐标一般历经两个关键步骤：（1）定位；（2）计算。 本题的解法1是运用交轨定位，包括圆与直线相交、直线与直线相交；计算涉及运用勾股定理和相似比建立方程。解法2是假设定位，设出点的坐标，利用平面几何性性中的相等关系，建立相应的方程进行计算。两种方法均体现了数形结合、分类讨论的思想方法。