数学人教版九年级上册四边形中的折叠问题.doc

课题：矩形中的折叠问题 城关一中---王利霞 教学目标： 知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题. 过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法. 情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣. 教学重点：解决矩形中的折叠问题. 教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学 教学过程 （一）课堂引入 师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们BCDEFA就 B C D E F A （二）讲授新课 例1：如图，已知矩形，将沿对角线折叠，点C落在点处，BE交AD于点. 师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？ 生：AB=DC=ED，BF=DF，AF=EF，BC=BE=AD； E=A=90°，ABF=EDF，FBD=FDB=DBC，BDC=BDE； 师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质？ 生：△EBD△CBD△ADB且都是直角三角形，△ABF△EDF；△FBD是等腰三角形；并且△EBD与△CBD关于直线BD对称，若连接EC，则BD垂直平分EC（对称轴垂直平分对应点之间的连线）. 师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题： 若∠ADE=20°，求∠EBD的度数． 若，，求AF． 解：（1）∵矩形ABCD中，∠C=90°，又∵翻折，∴∠E=∠C=90°， ∵∠ADE=20°，∴∠EFD=70°.∵AD∥BC，∴FDB=DBC ， 又∵FBD=DBC，∴ FBD=FDB，∴FBD=35°. （2）∵FBD=FDB，∴FB=FD，设AF为x，则FD=FB= 8-x，在△ABF中，∠A=90°，，因此， ，解得，∴AF=3. 【小结】 师生共同小结，教师进行归纳： 将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题. ABCFEGD图中还隐含着一个重要的基本几何图形， A B C F E G D 例2：将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合， 点A落在点G处. 师：请你分析出图中存在着哪些数量关系. 生：AB=DC=DG，BF=DF=DE，AE=EG=FC；G=A=90°， CDF=GDE，DFC=DEG ，BFE=DFE=FED； △DGE△DCF，且都是直角三角形，△DEF是等腰三角形；并且四边形EABF与四边形EGDF关于直线EF对称. 师：下面我们来看具体问题： 判断四边形BFDE的形状； 若AB=2，BC=4，求折痕EF的长. A A B C F E G D O 解：（1）四边形BFDE是菱形 证法一： ∵B与D 关于直线EF对称 ∴EF⊥BD，且BO=OD ∵AD∥BC ∴EO：OF=BO：DO ∴EO=OF ∴四边形BFDE是菱形. 证法二： ∵ED平行且等于BF ∴四边形BFDE是平行四边形 ∵△DGE△DCF，ED=DF ∴四边形BFDE是菱形 （2）∵四边形BFDE是菱形 ∴ 设FC为x，则FD=FB= 4-x，在△DFC中，，因此， ，解得，∴FC=1.5 ，BF=2.5 又∵DC=2 ，BD= ∴ ， EF=. 这里问题的解法比较多，教师鼓励学生一题多解，给学生展示不同思路的机会. 【小结】 师生共同小结，教师适当归纳： 例2中的图形是沿着某一直线折叠，使矩形对角的顶点互相重合.我们仍然找到了相等的线段、角，全等三角形，等腰三角形，还有特殊的四边形——菱形. 回顾例1、例2中两个计算边长的问题，勾股定理是解决此类问题的有力工具，并且两题都用到了和设未知数的方法，这里也体现了数学中的方程思想. 例3：如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好 落在边上点处. 问题：若，求tan∠DAE. 师：请你先分析图形中的数量关系，写在学案上，然后独立完成问题. 生：图中的主要关系有：，∽，，勾股定理可以用于任何一个直角三角形. 解：∵∠B=∠C=∠AFE=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∠BFA+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC，∴∴∽ ∴ 设EC为a，则EF=ED=3a，∴AB=DC=4 ∴AF= ∴AD= ∴tan∠DAE= 【小结】 师生共同小结： 本题中这个图形是使矩形的一个顶点落在矩形的一边上，图中除出