数学人教版九年级上册实际问题与二次函数“最大利润”.doc

26.3 实际问题与二次函数(2) 一、教学目标： (一)知识与技能　　 1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。　　 (二)过程与方法　　 经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。　　 (三)情感态度与价值观　　 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。　　 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。　　 二、教学重点、难点： 教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。　　 教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。 教学活动过程： 创设情境，导入新课 引例：已知某商品进价为每件40元，以每件60元售出，可获利润多少元？ 若每周可卖出300件，则获得的总利润是多少元？ 本活动旨在复习以下几个公式，为下面活动一作铺垫。 单件利润=售价－进价 总利润=单件利润×销售数量 总利润=销售额-总成本 活动一、探究新知 已知某商品进价为每件40元，以每件60元售出，每周可卖出300件，老板采用提高售价，减少销售量的办法增加利润，而每涨价1元，每星期少卖出10件；要想获得最大利润，该商品应如何定价？ 本题设置旨在降低课本上例题的难度，形成一定的梯度。 教师可提问： 1、本题涉及到哪些变量？其中哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 2、怎样求所获利润？ 3、怎样求得最大利润？ 4、求函数的最值问题，应注意什么？ 设计本题教师的重点有两个：（1）引导学生寻找等量关系，列出函数关系式确定自变量的取值范围。（2）在限定的自变量取值范围内求函数的最值。 要想解决本题，就必须寻找问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用文字语言和符号语言表示出来。 解：设涨价x元，每星期所获利润为y元，由题意得 y=（60+x-40）(300-10x) （0≤x≤30） =-10x2+100x+6000 =-10(x-5)2+6250 ∵0≤x≤30 ∴当涨价5元时，即定价65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。 变式一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ （自主完成本题后，小组交流讨论） （1）若涨价 方法一、 解：设涨价x元，每星期所获利润为y元，由题意得 y=（60+x-40）(300-10x)（0≤x≤30） =-10x2+100x+6000 =-10(x-5)2+6250 ∵0≤x≤30 ∴当涨价5元时，即定价为65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。 方法二、 解：设定价为x元，每星期所获利润为y元，由题意得 y=(x-40)［300-(x-60)/1×10］(60≤x≤90) =(x-40)(900-10x) =-10x2+1300x-36000 =-10(x-65)2+6250 ∴当定价为65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。 在求最值时，可以提问学生：求二次函数的最值的方法有几种？ 配方法 ②公式法 ③对称轴回代法 (2)若降价 方法一、 解：设降价x元，每星期所获利润为y元，由题意得 y=（60-x-40）(300+20x) （0≤x≤20） =-20x2+100x+6000 =-20(x-5/2)2+6125 ∵0≤x≤20 ∴当降价5/2元时，即定价为57.5元时，每星期所获利润最大，最大利润为6125元。 ∵6250＞6125 ∴当定价为65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。 方法二、 解：设定价为x元，每星期所获利润为y元，由题意得 y=(x-40)［300+( 60-x)/1×20］(40≤x≤60) =(x-40)(1500-20x) =-20x2+2300x-60000 =-20(x-115/2)2+6125 ∴当定价为57.5元时，每星期所获利润最大，最大利润为6125元。 本活动旨在让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受到数学的应用价值。能帮助学生分析和表示实际问题中的变量之间的关系，帮助学生学会有效思考，获得解决问题的方法。 变式二、上题中，若商场规定该商品每件的获利不低于40%，又不得高于60%，