湘教版高中数学必修四知识点总结.docVIP

解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本关系： 4、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有． 5、正弦定理的变形公式： = 1 \* GB3 ①化角为边：，，； = 2 \* GB3 ②化边为角：，，； = 3 \* GB3 ③； = 4 \* GB3 ④． 6、两类正弦定理解三角形的问题： = 1 \* GB3 ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. = 2 \* GB3 ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：． 8、余弦定理：在中，有，， ． 9、余弦定理的推论：，，． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设、、是的角、、的对边，则： = 1 \* GB3 ①若，则； = 2 \* GB3 ②若，则； = 3 \* GB3 ③若，则． 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在中，AB=3，AC=2，BC=，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 4(2005年全国高考江苏卷) 中，，BC＝3，则的周长为（ ） A． B． C． D． 分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x 在ΔBDE中利用余弦定理可得：， ，解得，（舍去） 故BC=2，从而，即又， 故， 在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。 答案： 题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 1. (2005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)． 解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝． ∴ ＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B 3.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。 答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 4. 在△ABC中，，判断△ABC的形状。 答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。 题型之三：解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 1. (2005年全国高考上海卷) 在中，若，，， 则的面积S＝_________ 2．在中，，，，求的值和的面积。 答案： 3. （07浙江理18）已知的周长为，且． （ = 1 \* ROMAN I）求边的长； （ = 2 \* ROMAN II）若的面积为，求角的度数． 解：（ = 1 \* ROMAN I）由题意及正弦定理，得，， 两式相减，得． （ = 2 \* ROMAN II）由的面积，得， 由余弦定理，得， 所以． 题型之四：三角形中求值问题 1. (2005年全国高考天津卷) 在中，所对的边长分别为， 设满足条件和，求和的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理，因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理 解得从而 2．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 解析：由A+B+C=π，得 eq \f(B+C,2)= eq \f(π,2) － eq \f(A,2)，所以有cos