2019届高三数学(理)二轮专题复习总结文档：专题三立体几何-第3讲-立体几何中的向量方法-Word版含解析.docVIP

PAGE PAGE 1 第3讲　立体几何中的向量方法 高考定位　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3) 解析　法一　以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系. 　 图(1)　　　　　　　　　　　图(2) 则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1). 又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，则A(－1，eq \r(3)，0). 所以eq \o(AB1,\s\up8(→))＝(1，－eq \r(3)，1)，eq \o(BC1,\s\up8(→))＝(1，0，1)， 则cos〈eq \o(AB1,\s\up8(→))，eq \o(BC1,\s\up8(→))〉＝eq \f(\o(AB1,\s\up8(→))·\o(BC1,\s\up8(→)),|\o(AB1,\s\up8(→))|·|\o(BC1,\s\up8(→))|) ＝eq \f(（1，－\r(3)，1）·（1，0，1）,\r(5)×\r(2))＝eq \f(2,\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),5)， 因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为eq \f(\r(10),5). 法二　如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PN∥BC1，MN∥AB1， ∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角. ∵AB＝2，BC＝CC1＝1， ∴MN＝eq \f(1,2)AB1＝eq \f(\r(5),2)，NP＝eq \f(1,2)BC1＝eq \f(\r(2),2). 取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知△PQM为直角三角形，且PQ＝1，MQ＝eq \f(1,2)AC， 在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC ＝4＋1－2×2×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7，AC＝eq \r(7)， 则MQ＝eq \f(\r(7),2)，则△MQP中，MP＝eq \r(MQ2＋PQ2)＝eq \f(\r(11),2)， 则△PMN中，cos∠PNM＝eq \f(MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP) ＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(11),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(2),2))＝－eq \f(\r(10),5)， 又异面直线所成角范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则余弦值为eq \f(\r(10),5). 答案　C 2.(2018·全国Ⅲ卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧eq \o(CD,\s\up8(︵))所在平面垂直，M是eq \o(CD,\s\up8(︵))上异于C，D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值. (1)证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD，又DM?平面CDM，故BC⊥DM. 因为M为eq \o(CD,\s\up8(︵))上异于C，D的点，且DC为直径， 所以DM⊥CM. 又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 由于DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. (2)解　以D为坐标原点，eq \o(DA,\s\up8(→))的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 当三棱锥M－ABC体积最大时，M为eq \o(CD,\s\up8(︵))的中点. 由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)， eq \o(AM,\s\up8(→))＝(－2，1，1)，eq \o(AB,\s\up8(→))＝(0，2，0)，eq \o(DA,\s\up8(→))＝(2，0，0). 设n＝(x，y