抽象函数专题-苏老师.docVIP

抽象函数 1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1； 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ 由已知x0时，f(x)10，当x0时，-x0，f(-x)0 ∴又x=0时，f(0)=10 ∴对任意x∈R，f(x)0 (3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 ∴ ∴f(x2)f(x1) ∴f(x)在R上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增 ∴由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 ∴ 0x3 2.已知函数,在R上有定义，对任意的有 且 （1）求证：为奇函数 （2）若， 求的值 解（1）对，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x) （2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 3.已知函数对任意实数恒有且当x＞0， (1)判断的奇偶性； (2)求在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于的不等式 解（1）取则 取 对任意恒成立 ∴为奇函数. （2）任取， 则 又为奇函数 ∴在（－∞，+∞）上是减函数. 对任意，恒有 而 ∴在[－3，3]上的最大值为6 （3）∵为奇函数，∴整理原式得 进一步可得 而在（－∞，+∞）上是减函数， 当时， 当时， 当时， 当时, 当a2时， 4.已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f() ⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn); ⑶求证 (Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0 令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0 ∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x) ∴f(x)为奇函数 (Ⅱ)解：f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn) ∴＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列 ∴f(xn)＝－2n－1 (Ⅲ)解： 而 ∴ 5.已知函数，满足：对任意都有 ； （1）试证明：为N上的单调增函数； （2），且，求证：； （3）若，对任意,有，证明：. 证明：（1）由①知，对任意，都有， 由于，从而，所以函数为上的单调增函数. （2）由（1）可知都有f(n+1)f(n),则有f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n), f(n)-f(n-1) f(2)-f(1) f(1)-f(0)由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1命题得证 （3）（3）由任意,有 得 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1 6.已知函数的定义域为，且同时满足： (1)对任意，总有； (2) (3)若且，则有. ( = 1 \* ROMAN I)求的值； ( = 2 \* ROMAN II)求的最大值； ( = 3 \* ROMAN III)设数列的前项和为，且满足. 求证：. 解：（ = 1 \* ROMAN I）令，由(3),则 由对任意，总有 （ = 2 \* ROMAN II）任意且，则 ( = 3 \* ROMAN III) ，即。 故 即原式成立。 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数． (1) 若函数为理想函数，求的值； (2)判断函数是否为理想函数，并予以证明； (3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证． 解：（1）取可得． 又由