《近世代数》模拟试卷.docVIP

PAGE 6 台州学院2017 学年第 1 学期 2017 级 数学与应用数学专业《高等代数I》期中试卷(B)(闭卷) 班级 学号 　　姓名 　　 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分值 20 20 10 15 15 10 10 100 得分 一．计算题（第1,2,3,4每小题3分，第5,6每小题4分，共20分） 1. 设=0，求a. 2. =？ 3. =？ 4. 计算箭形行列式的值. 5. 计算行列式. 6. 设 二. 判别下列命题的对错，并把错误的命题改正（每小题2分，共20分） 1．一个向量?线性无关的充要条件是?=0. 2．设向量组可由线性无关的向量组线性表出，则rs. 3．设向量组线性无关，则向量组线性无关 4.设向量组线性无关，线性相关，则可由向量组 线性表出. 5. 任一个排列都可以经过偶数次对换变为偶排列.. 6.设n×r矩阵A是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若，则该方程组有非零解. 7. 设,,如果向量组线性相关，则向量组也线性相关. 8.是一个数域，其中Q是有理数域. 9. 5元齐次线性方程组的自由未知量有2个. 10. n维向量空间的任意n+4个向量必线性相关. 三．填空题（每题2分，共10分） 1．设8级矩阵的秩为4，则有一个 ，且的所有 均为0. 2．非齐次线性方程组有解的充要条件是 . 3．?(253416789)+??987614352）= . 4．请写出一个6元排列 ，其反序数是9. 5．当j= ，k= 时，为6阶行列式中带负号的项. 四．叙述题（每小题5分，共15分） 请叙述Cramer法则. 什么叫数域？ 什么叫向量组的极大无关组？ 五. （15分）解下列线性方程组，用其特解和导出组的基础解系表示出全部解： . 六．(10分)求向量组的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的向量用求得的极大无关组线性表出，其中： ?1=(1, 0, 6, 5)，?2=(1, ?1, 4, 4)，?3=(1, ?2, 2, 3)，?4=(1,?6, ?6, 2), ?5=(1, 1, 8, 3). 七．证明题（每小题5分，共10分） 1. 设都是矩阵，证明. 2. 设；，证明向量组与等价. 答案 计算题(20分) 1. . 2. 60. 3. 720. 4. 2n. 5. . 6. 0. 二．是非题（是打√，非打，每小题2分，共20分） 1．一个向量?线性无关的充要条件是?=0. × 2．设向量组可由线性无关的向量组线性表出，则rs×. √ 3．设向量组线性无关，则向量组线性无关.√ 4．设向量组线性无关， 线性相关，则可由向量组 线性表出. × 任一个排列都可以经过偶数次对换变为偶排列. × 6.设n×r矩阵A是一个齐次线性方程组的系数矩阵，若，则该方程组有非零解. × 7. 设,,如果向量组线性相关，则向量组也线性相关. × 8. 是一个数域，其中Q是有理数域. √ 9. 5元齐次线性方程组的自由未知量有2个. × 10. n维向量空间的任意n+4个向量必线性相关. √ 三．填空题（每题2分，共10分） 1．设8级矩阵的秩为4，则有一个 4阶子式非零 ，且的所有 5阶子式 均为0. 2．非齐次线性方程组有解的充要条件是 系数矩阵和增广矩阵的秩相等 . 3．?(253416789)+??987614352）= 36 . 4．请写出一个6元排列 632145 ，其反序数是9. 当j= 4 ，k= 6 时，为6阶行列式中带负号的项. 四．叙述题（每小题5分，共15分） 请叙述Cramer法则. 答：n个方程n个未知量的线性方程组如果其系数行列式d…… 2.什么叫数域？ 3.什么叫向量组的极大无关组？ 五. （10分）求下列线性方程组的一般解： . 解： 得，方程组的特解为，导出组的基础解系为： ，. 方程组的全部解为，为任意数. 方程组的一般解为： 为任意数. 六．(5分)求向量组的极大无关组。其中：?1=(1, 0, 6, 5)，?2=(1, ?1, 4, 4)， ?3=(1, ?2, 2, 3)，?4=(1,?6, ?6, 2), ?5=(1, 1, 8, 3). 解：得极大无关组为. . 七．证明题（10分） 1. 证明向量组线性无关的充要条件是线性无关. 证明：设的行向量为(1):，的行向量为(2):，则的行向量为(3):，再设，向量组(1)的极大