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WORD完美整理版 范文范例 参考指导 土木工程专业 有限元第二次作业 姓 名： 班 级： 学 号： 指导教师： 二 〇 一 五年 6月12日 习 题：平面应力问题的八节点等参元，已给定8个节点的坐标。试查资料并论述： 1、单元中位移函数u（ξ，η），v（ξ，η）和单元节点位移{δe }的关系式； 2、[ B ]矩阵的计算步骤和计算式； 3、单元刚度矩阵[ k e ]的一般计算方法和计算步骤； 4、论述相邻单元间公共边界上位移的连续性； 5、如果给定母单元中点A，（ξ，η），怎样求实际单元中与A，相对应的点A（x，y）；反之，如果给定实际单元中的点A（x，y），怎样求其在母单元中对应点A，（ξ，η）？ 6、如果已经求解得到单元8个节点的位移值{δe }怎样求单元中某一点B（x，y）的应力？ 范文范例 参考指导 解： 图1：在总坐标系中具有二次曲边的四边形单元1、 图1：在总坐标系中具有二次曲边的四边形单元 单元位移场的表达： 图2：在自然坐标系中的曲边四边形的基本单元如图1所示,在任意四边形的每边中间设一附加节点，则单元边界就变成二次曲线的了。如果直接在整体坐标系下，像八节点矩形元那样，构造双二次多项式的位移插值函数，则因曲边四边形单元边界是二次曲线，故边界上的位移是的五次多项式，它不能由曲边上三个节点的位移分量唯一地决定，从而不能保证相邻两个单元在公共边上位移的协调条件，所以在整体坐标系下构造完全协调的位移插值函数是很困难的，利用坐标变换，可将曲边四边形单元变换成基本单元，如图2所示的在自然坐标下具有边长为2的八节点正方形单元，自然坐标系是外节点坐标值为±1的局部坐标系。在自然坐标系的单元上构造协调的位移插值函数，其形状函数是较普通的，取位移分量为的双二次多项式, 即： 图2：在自然坐标系中的曲边四边形的基本单元 （1-1） 利用8 个节点的16 个位移分量可唯一确定16 个待定常数，若代入8个节点的局部坐标值，得： （1-2） （1-3） 将解出的16 个待定常数代入式（1-1）即得: （1-4a） 也即： （1-4b） 其中为二阶单元矩阵，为等参元节点位移列阵，为形状函数矩阵。 形状函数的建立： 按等参元思想，在整体坐标系下, 任何形状歪斜四边形单元都将变换到局部坐标系下的正方形单元。 对8节点等参元, 其移模式为： （1-5） 式中, 为歪斜单元8节点的位移，为形状函数。 查阅相关资料，得形函数公式公式为： （1-6） 又由形状函数的性质可具体地求出的表达式为： （1-7） 2、根据平面问题的几何方程，单元应变可用节点位移表示如下： （2-1） 其中： （2-2） 即要求出矩阵中的元素，。 另根据符合函数求导法则，可知： （2-3） 其中，为二维坐标变化下的Jacobi矩阵，即： （2-4） 其元素计算式为： ，， ， （2-5） 又根据式（2-3），有 （2-6） 根据公式（2-2）即可得出矩阵，其中可由问题1方法求出。 3、单元刚度矩阵按普遍公式计算，公式如下： （3-1） 其中为单元体积域，为16×16的方阵（具体形式见下文），为材料的弹性系数矩阵，各向同性材料的弹性系数矩阵为： （3-2） 上述积分应在局部坐标系内进行，因此面积元素需表示成.如图3所示为子单元内任一点处的微小正方形，它是由局部坐标系中点处的微元体变换而成的。以表示轴的单位基矢量，分别由变换而成，则： （3-3） 图3：子单元内任一点处的微小正方形上述2个矢量的叉积 图3：子单元内任一点处的微小正方形 （3-4） 其中，为矩阵的行列式，即 将上式带入式（3-1），并写成分块形式： （3-5） 其中子矩阵的计算公式为： （3-6） 其中是板的厚度