数值计算方法(第藤蔓3章)3.pptVIP

3.3 向量和矩阵的范数 3.3.1向量和矩阵的范数的定义 为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范数。 向量和矩阵的范数 在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1，x2之间距离用| x1-x2 |表示。 向量和矩阵的范数 而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用 表示。而平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。 向量范数 常见的向量范数 向量范数性质 向量范数性质 向量范数性质 向量范数性质 等价性质： 向量的收敛性 矩阵范数 相容范数 算子范数 算子范数(证略) 算子范数 常见的矩阵范数 常见的矩阵范数 对称矩阵范数 例题 3.3.2 矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 例题 谱半径和矩阵序列的收敛性 矩阵序列的收敛性 3.3.3 病态方程组与矩阵的条件数 病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组与扰动方程组的误差分析 病态方程组 扰动方程 由于计算机字长限制，在解AX=b时，舍入误差是不可避免的。因此我们只能得出方程的近似解 。 是方程组（A+△A）x=b+ △b (1) 称方程（1）为方程Ax=b的扰动方程。其中△A， △b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量。当△A， △b的微小扰动，解得（1）的解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。 扰动方程组的误差界 3.3.4 矩阵的条件数 矩阵的条件数的性质 相对误差的事后估计 定理3.3.6 例题 例题 3.4 解线性方程组的迭代法 3.4.1 解线性方程组迭代法概述 解线性方程组迭代法概述 review 解线性方程组迭代法概述 解线性方程组迭代法概述 迭代法的收敛条件 迭代法的收敛条件 3.4.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 Jacobi迭代法 Jacobi迭代法 例题1 例题 例题2 例题 Jacobi迭代法的矩阵形式 Jacobi迭代法的算法 Gauss-Seidel迭代法 Gauss-Seidel迭代法 例题3 例题4 Gauss-Seidel迭代法的算法 3.4.3 线性方程组迭代法收敛条件 迭代法的收敛条件 迭代法的收敛条件 迭代法的误差估计 收敛的判别条件 收敛的判别条件 收敛的判别条件 收敛的判别条件 收敛的判别条件 例题 例题 例题 例题 在没有舍入误差的解。 * * 方程组的误差分析