初一奥数提高班01讲-有理数的巧算.docVIP

金苹果文化培训学校 奥数学提高班 - PAGE 6 - 第一讲　　有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 　　1．括号的使用 　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 　　例1 计算下式的值： 　　211×555+445×789+555×789+211×445． 　　 例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 　　 　　 2．用字母表示数 　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例3 计算 3001×2999的值． 练习1 计算 103×97×10009的值． 练习2 计算： 　　 　　 练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)． 　　 　　 练习4 计算： 　． 　　 　　 　　 3．观察算式找规律 　　例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88． 　　 　　例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 　　 　　例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值． 　　 　　例7 计算： 　　 练习一 1．计算下列各式的值： 　　(1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011； 　　(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； 　　(3)1991×1999-1990×2000； 　　(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636； 　　(5) 　　(6)1+4+7+…+244； (7) (8) 　　 2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分． 　　81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85． 第一讲　　有理数的巧算答案 　 例1 计算下式的值： 　　211×555+445×789+555×789+211×445． 　　分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第 一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 　　解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) 　　　　 　=211×(555+445)+(445+555)×789 　　　　 　=211×1000+1000×789 　　　　 　=1000×(211+789) 　　　　 　=1 000 000． 　　说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 　　分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即 (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 　　所以，所求最小非负数是1． 　　说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化． 例3 计算 3001×2999的值． 　　解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999． 例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他