初三数学旋转相讲义.docVIP

专题：旋转相似 模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。 条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。 结论： = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。 = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆） 模型特例：共直角顶点的直角三角形相似 当∠AOB=∠COD=90°时，除 = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明） 外，还有结论 = 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶、 = 4 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则 ? ? 例题讲解 例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF. （1）如图1，若∠ACB=900,探究BF与CD间的数量关系； （2）如图2，若tan∠ACB=，求 eq \f(BF,CD) 的值； （3）如图3，若△ABC中AC=BC=a ，将△DEF绕点O旋转，设直线CD与直线BF交于点H，则最大值为__________（用含a的式子表示）。 分析： （1）连OC，OD，△OBF≌ △OCD，BF=CD （2）构造手拉手旋转相似。可证△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB eq \f(BF,CD) = eq \f(OB,OC) =tan 问题转化为已知tan∠ACB=，求tan的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。 由右图提示可得tan=； （3）由（2）△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a ，定边定角，点H在以BC为直径的圆上，易求 例2.如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，?求证：AG＝CE；?求的值 分析：?如图2，证，∴AG=CE ?如图2，连接BD，BF，DF， 　　　易证，， 　　　 ∴ ∴ ∴ 变式：如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点(1)求证：AH=DG;(2)求的值。 分析：(1)连接 易证： AEDBC例3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE A E D B C 分析： 连接BE，由基本图形易得 可证△ACD∽△BCE，AD＝ EQ \F(eq \r(,3), 3 )BE，∠BAE＝90° 在Rt△ABE作，由勾股定理求得BE＝10 AEDBC则AD＝ EQ \F(10eq \r(,3), 3 ) A E D B C 练习1.如图，点A是△DBC内一点，求BD得长。 分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10. 练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I. (1) 求证：AF⊥BG； (2) 当旋转角小于90°时，求的值； (3) 若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________. 分析： （3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。 练习3．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD的延长线交直线CE于点P． （1）如图2，BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP的长； （3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长． A A E D B C A E B C 图1 图2 D AD A D B C E P （1）BD＝CE BD⊥CE （2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90° 又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四边