多元函数的极值和求法.docVIP

WORD格式整理 PAGE 专业知识分享 第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有，如果总有，则称函数在点处有极大值；如果总有，则称函数在点有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数在点处不取得极值，因为在点处的函数值为零，而在点的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数在点处有极小值． 因为对任何有． 从几何上看，点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点，曲面在点处有切平面，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即，． 几何解释 若函数在点取得极值，那么函数所表示的曲面在点处的切平面方程为 是平行于坐标面的平面． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 ，， 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组 ，求得解，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数的驻点． 注意1．驻点不一定是极值点，如在点． 怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题． 定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又 ，， 令 ，，，则 （1）当时，函数在点取得极值，且当时，有极大值，当时，有极小值； （2）当时，函数在点没有极值； （3）当时，函数在点可能有极值，也可能没有极值，还要另作讨论． 求函数极值的步骤： （1）解方程组，，求得一切实数解，即可求得一切驻点 ； （2）对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值； （3）确定的符号，按定理2的结论判定是否是极值，是极大值还是极小值； （4）考察函数是否有导数不存在的点，若有加以判别是否为极值点． 例3．考察是否有极值． 解 因为，在处导数不存在，但是对所有的，均有，所以函数在点取得极大值． 注意2．极值点也不一定是驻点，若对可导函数而言，怎样？ 例4．求函数的极值． 解 先解方程组，求得驻点为， 再求出二阶偏导函数，，． 在点处，，又，所以函数在点处有极小值为； 在点处，，所以不是极值； 在点处，，所以不是极值； 在点处，，又，所以函数在点处有极大值为． 二．函数的最大值与最小值 求最值方法： = 1 \* GB2 ⑴ 将函数在区域内的全部极值点求出； ⑵ 求出在边界上的最值；即分别求一元函数，的最值； = 3 \* GB2 ⑶ 将这些点的函数值求出，并且互相比较，定出函数的最值． 实际问题求最值 根据问题的性质，知道函数的最值一定在区域的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最值． 例4．求把一个正数分成三个正数之和，并使它们的乘积为最大． 解 设分别为前两个正数，第三个正数为， 问题为求函数 在区域：，，内的最大值． 因为，， 解方程组 ，得，． 由实际问题可知，函数必在内取得最大值，而在区域内部只有唯一的驻点，则函数必在该点处取得最大值，即把分成三等份，乘积最大． 另外还可得出，若令，则 即 ． 三个数的几何平均值不大于算术平均值． 三．条件极值，拉格朗日乘数法 引例 求函数的极值． 该问题就是求函数在它定义域内的极值，前面求过在取得极小值； 若求函数在条件下极值，这时自变量受到约束，不能在整个函数定义域上求极值，而只能在定义域的一部分的直线上求极值，前者只要求变量在定义域内变化，而没有其他附加条件称为无条件极值，后者自变量受到条件的约束，称为条件极值． 如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值，如上例从条件中解出，代入中，得成为一元函数极值问题，令，得，求出极值为． 但是在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单，我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可不必先把问题化为无条件极值的问题，这就是下面介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数取得极值的必要条件． 求函数在条件 下取得极值的必要条件． 若函数在