k同余理论在数学竞赛中的运用.docVIP

同余理论在数学竞赛中的运用 1引言 数$兗赛已逐渐形成一门特殊的数#学科——竞赛数7:。像IMO兗赛等等受到越來越人的 S视。而在数学竞赛中，初等数论的有关题目占得比例越來越大，尤其是M)余理论在数学竞赛 中冇着举足轻重的地位。下衙，木文重点论述一下同余理论在数学竞赛中的运用。首先，先介 绍一下M余的一些基本知识。 2同余的性质及几个重要的定理 2.1同余的定义、性质 ［定义1］给定正整数/〃，如果整数6/与h之差被整除，则称6/与对于模m同余，或称 a与b同余，模m，记为 a 三 ^(mod m)， 此时也称b是a对模的同余。 如果整数t/与h之差不能被m整除，则称6/与6对于模w不同余。 ［定理1 ］下而的三个叙述是等价的： (i ) a = Z?(mod m)； 存在正整数(/，使得a = b + qm， 存在整数％ , ，使得6z = %m + r ,a = g2m + r , 0 r m. ［定理2］同余具有下面的性质： (i )(自反性)a = a(mod m)； (对称性)^a = Z?(modm), 5!iJb = a(modm)； (恃速性)a = b,b = c(mod m),则 假设 a,btx,y 是整数，并且“三 Z?(mod m)9 x = y(mod w)，贝ij 6/ ± x = 土 y(mod m)，ax 三 by(mod m)； 设“(0 / n )以及；v，y 都是整数，并且 x 三 y(modm)，a ■ = /?z (mod m), 0 / n，则 ” n Z e^x1 = (mod m)； /=o /=o (vi) a = Z?(mod m)，d\m , 0 = ? = b(modd): (viii)若“三々(modm,), (Z = l，2,…，n),贝ija三Z^modl^nj，/^，…，讲］); ? = /?(modm) (a，m) = (/?,m); ac = /?c(modZ7t),(c,= a = Z?(modm). 下iM简单介绍一下，以上同余性质的一些应用。 ［例1］求(25733 +46)26被50除的余数。 解：宥性质(v )得， (25733 +46)26 =(733 -4)26 = ［7(72广-4］26 三［7(-1),6_4］26 =(7-4)26 =326 = 3(35)5 =3(- 7)5 =-3x7.(72)2 = -21x(-l)2 =-21 =29(mod50) 即所求的余数是29。 ［例2］求n = 777的个位数。 解：因为 7丨=—3,7* = —1,74 三 1 (mod 10) 因此苦 77 = r(mod4) 则 n = 77? =7r(modl0) ⑴ 现在 77 = (-1)7 = -1 = 3(mod4) 所以由式(1)得到 n - 77 = 73 = (-3)5 = -7 = 3(mod 10), 即A2的个位数是3。 ［例3］证明：若/!是正整数,则13|42w+i+3w+2。 证明：因为42+| +3,,+2 =4*421+9*3” =4*16+9*3” 再有忡质(vi)得， 416z,+93W =43?,+93Z, =133W =0(modl3) 得证。 ［例4 ］已知991 626^427,求汉和/?。 解：因为99=9X11 TOC \o 1-5 \h \z 所以9|62妙427， ( 2 ) 11| 626^427, ( 3 ) ，(2)式得：9|6 + 2 + ? + ^ + 4 + 2 + 7 = 21 + ^ + ^ =9|3 + a + A ( 4 ) 有(3 ) 得：11|6 — 2 + 6Z — y0 + 4 — 2 + 7 = 13 +汉+ y5 =11|2 + 6Z-/? (5) 由于0S6Z,/?幺9,所以由式(4 )与(5 )得!li 汉+ 0 = 15或6，汉-0 = 9或-2,可得叫个方程组 --I np op + -a + J3 = 6 + J3 = 6 \a + fi --I np op + - a-p = 9 [a-/3 = -2 \oc-p = 9 解得以=2, 0 = 4。 2.2剩余类、完全剩余系和简化剩余系 ［定义2］给定正整数〃/,对于每个整数7，0€/€仍-1,称集合 Ri（m） = ｛n \n = i（modm）,nE Z｝是模的一个剩余类。 ［定义3］设///是正整数，从模///的每一个剩余类中任取一个整数x,.（OS/Sm_l），称巢合 X,｝是模的一个完全剩余系（或简称为完全系）。 由于的选取是任意的，所以模/〃的完全剩余系有无穷多个，通常称： i. ｛0，1，2,…，m-1撮模m的最小非负完全剩余系； ii. ｛-f+ 1，…，-1，0，1，…，f｝（