第二章 有限法的直接刚度法.pptVIP

第二章 有限元法的直接刚度法 单元分析方法： 1、直接刚度法 2、数值法：变分法；加权余量法（参照清华教材） 授课大纲 引子 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。 2.1直梁的有限元分析 有限元法基本概念 结构（或连续体）离散（有限元建模） 1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷 要求 1）离散结构必须与原始结构保形--单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同--单元的物理特性 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。简言之，将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。本书中，两个节点之间的杆件构成一个单元。 节点：单元与单元间的连接点。 节点位移：结构在受力变形过程中节点位置的改变。分为线位移与角位移，单元类型不同，节点位移不同。 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力。 节点载荷：作用于节点上的外载。节点载荷包括直接作用在节点上的外载荷和等效移置到节点上的载荷。 注意 1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别； 2）节点力与节点载荷的差别。 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。 2.1.1划分单元 单元：应该是规则形状的简单几何体，以便进行单元分析。 常用的单元形式 线性元： 精密元： 等参元：（曲边、直线边均可） 离散化模型 杆件结构的节点可按以下原则选取： 杆件的交点一定要选为节点。 阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 支承点和自由端要取为节点。 集中载荷作用处要取为节点。 欲求位移的点要取为节点。 单元长度不要相差太多。 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分的单元如图2.1(b)所示。 2.1.2 以节点位移表示单元节点力 任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点的节点位移分量有2个：挠度和转角，一般规定，向上为正，逆时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。 所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用q、m来表示，规定：q向上为正，m逆时针为正 写成列阵形式，表示 i 节点的节点力。 梁单元共有4个节点载荷分量：Zi、Mi、Zj、Mj，可用一个列阵表示，称为单元的节点载荷列阵。 梁单元的每个节点有2个节点位移分量（挠度f和转角θ），我们称每个节点有2个自由度。图2.1所示的梁结构共有4个节点，8个位移分量，我们称整个梁结构有8个自由度。 图2.1所示梁上全部节点的节点位移分量可用一个列阵表示，称为结构的节点位移列阵，全部节点的节点载荷分量可用一个列阵表示，称为结构的节点载荷列阵。 根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系可以表示为： 写成矩阵形式： 单元刚度矩阵中各元素的物理意义： 在j点固定，令i点有如图所示的位移，即有 代入公式中，得 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义：单元第l个节点位移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 求单元刚度矩阵的第一列元素，由叠加原理，可得 对梁单元分析受力，列平衡方程 解方程得 单元刚度矩阵中第二列元素的物理意义是：fi=0，θi=1，fj=0，θj=0时，作用在单元节点上的节点力 求单元刚度矩阵 的第二列元素由叠加原理，可得： 对梁单元分析受力，列平衡方程，解得 同理，可求出单元刚度矩阵中的第三、四列元素，从而得到单元刚度矩阵 将单元刚度矩阵的公式应用于三个实际的梁单元 单元的节点力和节点位移的关系，通常采用分块的方法表示，如2号单元的节点力和节点位移的关系 解方程得 图2-4 单元刚度矩阵 第二列元素的意义 （2-20） （2-21） 从上式可以看出，单元刚度矩阵是一个对称矩阵，即 aij=aji 图2-5 三个单元的受力图 * * 【教学目的和教学要求】 掌握有限元求解问题的基本过程，掌握有限元法的基本原理。 2.1直梁的有限元分析 2.2 平面刚架的有限元分析 真实系统 有限元模型 有限元模型由一些简单形状的单元组成