第四节 隐函及由参数方程所 确定的函数的微分法.pptVIP

* 高等数学 * 高等数学 第四节　隐函数及由参数方程所 　 确定的函数的微分法 一、隐函数的微分法 二、由参数方程所确定的 　　函数的微分法 第二章　导数与微分 三、对数微分法 一、隐函数的微分法 　　例 1 设方程 x2 + y2 = R2(R 为常数)确定函数 y = y(x)，　 解 在方程两边求微分， d(x2 + y2 ) = dR2， 即 2xdx + 2ydy = 0. 由此，当 y ? 0 时解得 或 例 2 设方程 y + x – exy = 0 确定了函数 y = y(x)， 解 方程两边求微分，得 d(y + x – exy) = d0， 即 dy + dx - dexy = 0， dy + dx – exy(xdy + ydx ) = 0. 当 1 - xexy ? 0 时，解得 即 　　例 3 求曲线 x2 + y4 = 17 在 x = 4 处对应于曲线上的点的切线方程. 解 方程两边求微分，得 2xdx + 4y3dy = 0， 得 　　 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1). 将 x = 4 代入方程，得 y = ? 1. 　　在 P1 处的切线斜率 y?|(4,1)= - 2， y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为 y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0 在 P2 处切线的斜率 y?|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为 补证反三角函数的导数公式： 设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求微分，得 dx = cos ydy， ≤ ≤ cos y 取正号， 二、由参数方程所确定的 函数的微分法 参数方程，它的一般形式为 对方程 ② 两边求微分，得 ① ② dy = f ?(t)dt， 同样对方程 ① 两边求微分，得 dx = ? ?(t)dt， ③ ④ 即 例 4　设参数方程 　(椭圆方程)确定了函数 y = y(x)， 解 dx = - a sin tdt， dy = bcos tdt ， 所以 解 与　 对应的曲线上的点为 dy = asin t dt ， dx = a(1 – cos t)dt ， 　　例 5　求摆线 (a 为常数) 在对应于 　 时曲线上点的切线方程 . 点 P 处的切线方程为 所以 例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出， 如果不计空气阻力，以发射点为原点， 地平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图). 由物理学知道它的运动方程为 求(1)炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程. y O x 中弹点 解 (1)炮弹的水平方向速度为 炮弹的垂直方向速度为 y O x 中弹点 Vx Vy 所以，在 t 时炮弹速度的大小为 它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为 (2)令 y = 0，得中弹点所对应的时刻 三、对数微分法 解　两边取对数，得 两边求微分， 例 7 设 3