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利用矩阵初等变换求多项式的最大公因式 Vo1.8,No.1 Jan.,2005 高等数学研究 STUDIESINC0LLEGEMATHEMATICS15 利用矩阵初等变换求多项式的最大公因式 王丹华(井冈山师范学院数学与应用数学系江西吉安343009) 摘要建立多项式的系数与多行矩阵表示式之间的对应关系,从而利用矩阵初等行变换求数域P上的多项 式的最大公因式. 关键词矩阵初等行变换多项式最大公因式中图分类号O151.2 在高等代数中,求数域P上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法,当多项式的次数 较高时,辗转相除法计算较繁琐.由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算,因此通常利用 分离系数法,使运算相对简化.同样地,下面为了简化求多项式最大公因式的运算,考虑将要求最大 公因式的那两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来.例如:设数域P上的两个多项式为: /():a+,r1+…+1+ao(≠0); g(z)=bmz+6—1z一+…+b1z+bo(6≠0); 其中ai,bj∈P,(一0,1,…,n;J=0,1,…,), 当—m时,令:(厂(),g(z)) 当gt;优时,令:((),g(z)) ,r1 6,r1 口,r1 0 …口1 … b1 数域P上两个多项式的最大公因式具有以下基本性质: I)(厂(),g(z))一(g(z),厂(z)); Ⅱ)若(厂(),^())一1,贝0(厂(),g())=(厂(),g()^()); III)(厂(),g())一(厂()+kg(),g()),k∈P. 根据多项式最大公因式性质,如上引入的二行矩阵中就反映了以下事实: ①交换二行矩阵两行的位置,得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式. ②当a.≠0时,有(厂(),)一1,故(厂(),g())一(厂(),g()),(5∈z+).于是,当ngt;m, n.≠.,.≤s≤——时,(厂(),g())++f:::.i4-:::6a.jj.-::aola.o1,其中第1U…U卅…DnU…UUl 二行b.的后面有5个零.由于厂(),g()是处于对称地位的,这就说明二行矩阵中的任一行可以左 右平行移动,平移后二行矩阵中对应的空位用零补齐,由此得到的二行矩阵仍然对应于这两个多项 式的最大公因式.特别地,当c是非零常数时,(厂(z),g(z))一(cf(z),g(z)),因此,二行矩阵中的 任一行乘以一个非零的常数后,得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式. ③二行矩阵某一行的k倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式. 这即意味着数域P上多项式的最大公因式(厂(),g())可以利用二行矩阵进行初等行变换求 得.具体操作步骤如下: i)先根据多项式的系数作出(厂(),g())对应的二行矩阵; 收稿日期:O2—1O一23; ,●●●●●●●』% ;卅m ,●j口6 6 ● ⅢO ～一 16高等数学研究2005年1月 ii)利用第一,二种初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0.(以下约定: P((c)))和P(i,(忌))分别表示第行乘以数c(c≠O)和第行的忌倍加于等行的初等变换). iii)向左(或向右)平移二行矩阵中某行,使得这一行端首的0去掉.这表明(厂(z),g(z))的次 数在降低.(下文中一是表示矩阵的某行向左(或向右)平移去掉端首的0的操作.) 反复利用i),ii),iii),直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止. 下面举例说明利用矩阵初等行变换不仅可以求两个多项式的最大公因式,而且可以求解一些 多项式重根的问题,若增加矩阵的行数还可以求解多个多项式的最大公因式. 例1设厂(z)一一+3x.一z0—4x一3,g(z)一3x.+lOx+2x一3,求(厂(z),g(z)). 解作二行矩阵并进行初等行变换. ,13—1—4—3,P(1,2(--1)),10—11—60, 【一广一【1003102303102—3广一\一』\一』 (一二)(_3)生 (一_36)(3;)一(;) /143\ 10—1—3』(3)一( 故(厂(z),g(z))一z+3. 例2求多项式厂(z)一z.++q有重根的条件. 解当且仅当(厂(z),f(z))一(z)≠1时,厂(z)有重根.考虑(z)一3x+p. ①当p一0时,/(z)一3x,则z一0是f(z)一0的二重根.因此,厂(z)有重根必需(z)一 z. ,即q一0.所以p—q一0时,厂(z)有三重根. ②当p≠0时,作二行矩阵并进行初等行变换: ;)生0喜q P(2(一) J号户口. 一 号po一 oo户口 100 户口o oq一吾p 号户 口 2 .pq 1O q 一 吾p. 显然 挈=专……一…帆 例3证明:厂(z)一1+z++…+不能有重根. 证明厂()没有重根的充要条件是