求通项公式的特征根法.docVIP

PAGE PAGE 1 特征根法求数列的通项公式 1、设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。作出一个方程则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即. 例1．已知数列满足：求 解：作方程 当时， 数列是以为公比的等比数列.于是 2、对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例2.已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法） 由，得，且。 则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是 。把代入，得 ，，， 。 把以上各式相加，得 。 。 解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。 , 。 又由，于是 故 3、如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。 例3.(2006.重庆.文.22)．（本小题满分12分） 数列求数列的通项公式. 解：由已知，得，其特征方程为，解之，得 ， ， 。 例4.已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 ∴ ∴即 例5．已知数列满足：对于都有 （1）若求（2）若求（3）若求 （4）当取哪些值时，无穷数列不存在？ 解：作特征方程变形得 特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答. (1)∵对于都有 (2)∵ ∴ 令，得.故数列从第5项开始都不存在， 当≤4，时，. (3)∵∴∴ 令则∴对于 ∴ (4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2. ∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在. 于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在. 说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。(取倒数法) 例6. 解：取倒数： 是等差数列，