必威体育精装版数学分析知识点最全汇总.docVIP

PAGE PAGE 9 第一章实数集与函数 §1实数 授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序： 引 言 上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题]为什么从“实数”开始． 答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质． 一、实数及其性质 1、实数 ． [问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为 0＝ 例： ；  利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？ 2、两实数大小的比较 1）定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，. 对于负实数，其位不足近似；位过剩近似. 注：实数的不足近似当增大时不减，即有； 过剩近似当n增大时不增，即有． 命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）． 命题应用 例1．设为实数，，证明存在有理数，满足． 证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且 ．即． 3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）． 1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数． 2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一. 3）传递性：，． 4）阿基米德性：使得． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设，证明：若对任何正数，有，则． （提示：反证法．利用“有序性”，取） 二、绝对值与不等式 1、绝对值的定义 实数的绝对值的定义为． 2、几何意义 从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离． 3、性质 1）（非负性）； 2）； 3），； 4）对任何有（三角不等式）； 5）； 6）（）． 三、几个重要不等式 1、 2、均值不等式:对记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式:即： 等号当且仅当时成立. 3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式 当且,且时,有严格不等式 证：由且 4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式 有 上式右端任何一项. ［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数：. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3 §2数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求： (1)掌握邻域的概念； (2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 引 言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何有：(1)；(2) . （） （） 2、证明：. 3、设，证明：若对任何正数有，则. 4、设，证明：存在有理数满足. [引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之