现代数值计算方法第一章.pptVIP

* * 第一章 数值计算的基本概念 计算不仅仅只是作为验证理论模型的正确性 的手段，大量的事实表明它已成为重大科学发现 的一种重要手段。 科学计算与实验、理论三足鼎立，相辅相成，成为当今科学活动的三大方法。 石钟慈： 《第三种科学方法----计算机时代的科学计算》 （2000） 数学的一个分支、数学与其它应用学科的桥梁； 其具有悠久的历史。 2. 其它学科发展迫切需要进行数值计算与仿真; 科学计算已成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学研究手段。 3. 计算机软、硬件的发展为数值方法的实现提供 环境，也促进它的快速发展。 1、数值计算简介 2 、数值计算的研究对象和内容 数值 分析 输入由实际问题建立起来的数学模型 ? ? ? ? 计算机 近似解 课本P1，倒数第二行开始，关于数值算法的定义。 基本的数学问题(研究的主要对象与内容): 1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 求解(求根); 4.积分 计算; 5.常微分方程初值问题求解; 6.函数插值与逼近 7.其它。 具体例子： （1）求 的正实根； （2）求一阶微分方程初值问题： 的解，其中： （3）解线性代数方程组： （4）求积分： 注1：求精确解(值)一般非常困难。例如： 1. 形式复杂时求根和求积分很困难。 2. 线性微分方程易解， 如 非线性方程难解，如 注2：若所用的方法不恰当，问题无法解决。例如： 方程组阶数n很大，例如n=20。计算机运算速度10亿次/秒,用不好的方法,大约需算3万年;好方法不到一分钟(可见书P2)。 希 望：好的算法应该具有以下性质: (1)结构简单,易于编程; (2)理论上有(全局)收敛性与稳定性; (3)效率高(运行速度与存储量); (4)经过检验,行之有效. 1.3.1 来源与分类 /* Source Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */(P2) 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */(P3, 下同) 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 3 、 误差的基本理论 大家一起猜？ 1 1 / e 解法之一：将 作Taylor展开后再积分 S4 R4 /* Remainder */ 取 则 称为截断误差 /* Truncation Error */ | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | ≈ 0.743 由截去部分 /* excluded terms */ 引起 由留下部分 /* included terms */ 引起 1.3.2误差与有效数字 /* Error and Significant Digits */ ? 绝对误差 /* absolute error */ 其中x为精确值，x*为x的近似值。 ，例如： 工程上常记为 ，称为绝对误差限 /* accuracy */， 的上限记为 注： 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 0 不唯一，当然 越小越具有参考价值。 ? 相对误差 /* relative error */ x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为使 的 。 注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 。那么这样的偷换是否合法？ 严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？有兴趣的同学可查阅相关书籍。 ? 向量的误差 对于n维欧氏空间中的任一向量 设 是 的近似向量，则可利用 的欧氏范数 来表示，它实际上向量 与 在 上的欧氏距离，用