课程设计14.docVIP

PAGE PAGE 5 教 师 课 时 授 课 计 划 教师姓名 课程名称 应用数学 授课时数 2 累计课时 授课日期 星期\节次 授课班级 课题 M2-3 无穷小与无穷大的概念及性质 知识目标 了解掌握无穷小，无穷大的概念及无穷小的比较 技能目标 掌握无穷小与无穷大的关系；会进行无穷小的比较；会利用等价无穷小求相关的极限。 态度目标 正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 教学重点 无穷小的比较 教学难点 无穷小的比较，灵活运用6种求函数极限的方法 教学资源 无 参考书 《高等数学》——同济四版 作 业 教 学 过 程 设 计 教学环节 教学内容 教学方法 时间 课程引入 复习当时函数f(x)的极限 启发式 5 知识讲解 1、无穷小的定义及其性质 2、无穷大的定义及无穷大与无穷小的关系 3、无穷小的比较 4、极限的运算 启发式 55’ 课堂实战 灵活运用求函数极限的方法求函数的极限 2 课后点评 无穷小与无穷大 总结求函数极限的方法 5’ 课后小记 一、课程引入 在实际问题中，我们经常遇到极限为零的变量．例如，单摆离开铅直位置而摆动，由于空气阻力和机械摩擦力的作用，它的振幅随着时间的增加而逐渐减小并趋于零．又如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋于零．对于这样的变量，我们称之为无穷小量． 二、知识讲解 1、无穷小的定义及其性质 定义 8 如果当（或）时，函数的极限为零，那末函数叫做当（或）时的无穷小量，简称为无穷小． 例如，因为，所以函数是当时的无穷小； 应当注意：（1）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势；（2）无穷小是一个函数，而不是一个绝对值很小的数；（3）常数中只有“0”可以看成是无穷小，因为性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小； 性质2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小； 性质3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小 2、无穷大的定义及无穷大与无穷小的关系 1）无穷大量的定义 定义9 如果当（或）时，函数的绝对值无限增大，那末函数叫做当（或）时的无穷大量，简称为无穷大． 例如，当时，是一个无穷大，又如，当时，是一个无穷大． 应当注意：（1）无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数；（2）说一个函数是一个无穷大，必须指明自变量的变化趋势． 2）无穷大与无穷小有以下的简单联系： 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则是无穷小；反之，如果为无穷小，且，则是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限． 例1 求． 解 因为，所以 ． 3、无穷大及无穷小的比较 定义10 设和都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又也是在这个变化过程中的极限． （1） 如果= 0，就说是比高阶的无穷小，记作； （2） 如果，就说是比低阶的无穷小； （3） 如果=，就说与是同阶无穷小，特殊地，若，则说与是等价无穷小，记为~． 注意:在无穷小的比较中,自变量的变化趋势必需一致,否则无法比较! 例如，在x→0时，x2 是比3x高阶的无穷小；3x 是比x2低阶的无穷小，sinx与3x是同阶无穷小，sinx与x是等价无穷小． 当x→0时，常用的等价无穷小有 sinx ~ x； tanx ~ x； arcsinx ~ x； arctanx ~ x； ln(1+x) ~ x； ex–1 ~ x； ~； ~． 例2 比较当时，无穷小与阶数的高低． 解 因为= ， 所以 ~． 例3求极限及． 解 当时，~，~，所以 =； 当时，~，所以 == 4、极限的运算 例4求． 解 略 例5 求． 解 例6求． 解 因为，所以 =． 由例题可以看出，当是非负整数时，对于有理分式函数的极限，有下面的结论： 三、课堂实战 1、求下列各极限： （1） ； （2） ； （3） ； （4）； 2．当x→0时，2x–x2与x2–x3相比，哪一个是高阶无穷小？ 4．当x→1时， 无穷小1–x和 （1）； （2）是否同阶？是否等价？ 3．计算下列各极限： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ；