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近五年全国高中数学联赛选编——函数、集合 2015.8.17 1. （2010年 一试1）函数的值域是 . 提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为. 2. （2010年 一试5） 函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 解：令则原函数化为,在上是递增的. 当时，, ， 所以 ； 当时，， ， 所以 . 综上在上的最小值为. 2.（2010年 一试9）已知函数，当时，，试求的最大值. 解法一： 由 得 . 所以 ， 所以. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 解法二：. 设，则当时，. 设 ，则. . 容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ， 从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 3. （2011年 一试1）设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 ． 解：. 提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以 ， 故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合． 4. （2011年 一试2）函数的值域为 ． 解：. 提示：设，且，则 ． 设，则，且，所以 ． 5. （2011年 一试9）设函数，实数满足，，求的值． 因为，所以 ， 所以或，又因为，所以，所以． 又由有意义知，从而 ， 于是 ． 所以 ． 从而 ． 又 ， 所以 ， 故 ．解得或（舍去）． 把代入解得． 所以 ，． 6. （2012年 一试3） 7. （2012年 一试6） 8. （2012年 一试9） 9. （2013年 一试1） 10. （2013年 一试5） 11. （2013年 一试11） 12. （2014年 一试2） 13. （2014年 一试3）