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对两道同类型却不同结果解析几何题探讨 　　作为教师，我们在进行教学时，总会遇到一些同类型却不同结果的数学题，常见的如：二次函数抛物线与轴的交点的个数问题、直线与圆的交点的个数问题等等.在解析几何的教学过程中，我也遇到两道有趣的同类型却不同结果的数学题. 　　在学到“直线与圆的方程”这一章节时，我给学生分析、讲解了一道有关求直线方程的数学题： 　　【例1】 已知直线l经过点P(1,2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，试求直线l的方程. 　　这道题有两种解法：可设所求直线l的方程为xa+yb=1①，而12|ab|=8②，由①、②即可求出直线l的方程为x4-22+y8+42=1或x4+22+y8-42=1或x-4-26+y-8+46=1或x-4+26+y-8-46=1，共四条直线；也可设所求直线l的方程的方程为y-1=k(x-2)，利用直线的点斜式求解，同样可求出上述的四条直线方程. 　　过后不久，在一次数学测试中出现了一道与例1几乎一模一样的题目： 　　【例2】 已知直线经过点P（1,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，试求直线的方程. 　　这自然让我很快记起例1的结果：有四种情况.我想例2的结果也会一样，但是我错了，例2的结果有三种情况，所求直线l的方程为：x 2+y4=1或x-2-22+y-4+42=1或x-2+22+y-4-42=1.这使我警觉起来，看似相同的两道题，其结果却不同，并意识到：面积值S的改变会使直线的条数发生变化.这个发现使我来了兴趣，就试着改变S的值，去观察直线l的条数的变化.当S=2时，可求出x -1+3+y2+23=1或x -1-3+y2-23=1为直线l的方程，此时直线l的条数竟是两条.随着S的其他不同取值，直线l条数的变化总是两条或四条，而且当04时，l的条数总是四条.这是偶然的吗？还是存在有一定的规律？我在头脑中形成了这样的一个疑问： 　　问题一：经过点P(1,2)的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S为多少时，直线l的条数为两条？三条？四条？还会有其他情况的条数吗？ 　　经过验证，答案是：当04时，直线的条数是四条；且不会出现其他情况的条数. 　　解：设所求直线l的方程为：xa+yb=1. 　　由题意知：b≠2（否则直线l与两坐标轴围不成三角形）. 　　∴a=bb-2①，S=12|ab|=12#8226;b??2|b-2|. 　　(1)当b2时，有S=b??22(b-2)，即b??2-2Sb+4S=0，Δ??1=4S??2-16S. 　　若Δ??10(即0S4)，则方程b??2-2Sb+4S=0无实数根； 　　若Δ??1=0(即S=4)，则方程b??2-2Sb+4S=0变为b??2+8b+16=0， 　　解得：b=42，把b=4代入①，得a=2，此时得到所求的一条直线. 　　若Δ??10(即S4)，则方程b??2-2Sb+4S=0有两个不等实根，分别为： 　　b??1=S+S??2-4S，b??2=S-S??2-4S. 　　下面证明b??12且b??22. 　　显然b??1=S+S??2-4SS2(∵S4). 　　假设b??2=S-S??2-4S≤2，则S-2≤S??2-4S，∴4≤0，矛盾.从而b??22. 　　把b??1和b??2分别代入①，得到相对应的a??1和a??2，此时得到两条不同的直线. 　　由(1)可知：经过点P(1,2)作“在y轴上的截距b2” 的直线l，当04时，这样的l有两条. 　　(2)当b0恒成立，则方程b??2+2Sb-4S=0有两个不等实根，分别为： 　　b??3=-S+S??2+4S，b??4=-S-S??2+4S. 　　下面证明b??32且b??42. 　　显然b??4=-S-S??2+4S=-(S+S??2+4S)02. 　　假设b??3=-S+S??2+4S≥2，则S??2+4S≥S+2，∴0≥4，矛盾.从而b??32. 　　把b??3和b??4分别代入①，得到相对应的a??3和a??4，此时得到两条不同的直线. 　　由(2)可知：经过点P(1,2)作“在y轴上的截距b2” 的直线l，无论S取任何正数值，这样的l总可作两条. 　　故综合(1)、(2)可知：经过点P(1,2)的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S，当02)；当S4时，这样的l有四条(其中有两条在y轴上的截距b2).不存在其他条数的情况. 　　我进一步思考：假如点P是第一象限的点呢？ 　　问题二：经过点P(x??0,y??0)（x??00,y??00）的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S为多少时，直线l的条数的情况是怎样？ 　　可以验证：当02x??0y??0时，直线l的条数是四条. 　　再进一步思考：假如点P