对一道高考数列问题解法探讨.docVIP

对一道高考数列问题解法探讨 　　由递推公式求数列的通项公式是数列中的常见题型,这类数列通常可转化为a??n+1??+λ=p(an+λ),或消去常数转化为二阶递推式a??n+2??-a??n+1??=q(a??n+1??-an),或迭加、归纳、猜想证明.本文就2009年高考全国卷的一道数列题目谈此类题型的几种求解策略,供参考. 　　(2009,全国卷(Ⅱ),理)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,S??n+1??=4an+2. 　　(Ⅰ)设bn=a??n+1??-2an,证明数列{bn}是等比数列; 　　(Ⅱ)求数列{an}的通项公式. 　　解:(Ⅰ)由a1=1及S??n+1??=4an+2,有S2=4a1+2,即a1+a2=4a1+2. 　　S??n+1??=4an+2,① 　　则当n≥2时,有Sn=4a??n-1??+2.② 　　由②-①得a??n+1??=4an-4a??n-1??, 　　∴a??n+1??-2an=2(an-2a??n-1??), 　　又∵bn=a??n+1??-2an, 　　∴bn=2b??n-1??. 　　∴{bn}是首项b1=3,公比为2的等比数列. 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可得bn=a??n+1??-2an=3#8226;2????n-1??,即a??n+1??-2an=3#8226;2????n-1??,这个递推公式明显是一个构造新数列的模型:a??n+1??=pan+r#8226;q??n(p,q为常数),主要的处理方法有以下几种: 　　分析1:将3#8226;2????n-1??化为常数. 　　解法1:将a??n+1??-2an=3#8226;2????n-1??两边同除以2????n+1??,得a??n+1??2????n+1?? 　　-an2??n=34. 　　数列{an2??n}是首项为12,公差为34的等差数列, 　　则an2??n=12+(n-1)34=34n-14, 　　∴an=(3n-1)#8226;2????n-2??. 　　分析2:将3#8226;2????n-1??拆分成两部分,分配给a??n+1??与an,构造新数列{a??n+1??+x#8226;(n+1)#8226;2????n+1??},由待定系数法确定常数x的值. 　　解法2:设a??n+1??+x#8226;(n+1)#8226;2????n+1??=2(an+x#8226;n#8226;2??n) 　　,化简得a??n+1??=2an-x#8226;2????n+1??,又因为a??n+1??-2an=3#8226;2????n-1??,则-x#8226;2????n+1??=3#8226;2????n-1??,解得x=-34. 　　∴a??n+1??-34#8226;(n+1)#8226;2????n+1??=2(an-34#8226;n#8226;2??n) 　　,??∴数列{??an-34#8226;n#8226;2??n}是以a1-34#8226;1#8226;2??1=-12 　　为首项,2为公比的等比数列.∴an-34#8226;n#8226;2??n=(-12)#8226;2????n-1??. 　　即an=(3n-1)#8226;2????n-2??. 　　分析3:迭代法. 　　解法3:∵a??n+1??=2an+3#8226;2????n-1??,∴an=2a??n-1??+3#8226;2????n-2??=2(2a??n-2??+3#8226;2????n-3??)+3#8226;2????n-2?? 　　=2??2a??n-2??+2#8226;3#8226;2????n-2??=2??2(2a??n-3??+3#8226;2????n-4??)+2#8226;3#8226;2????n-2??=2??3#8226;a??n-3??+3#8226;3#8226;2????n-2??=… 　　=2????n-1??#8226;a1+(n-1)#8226;3#8226;2????n-2??=2????n-1??#8226;1+(3n-3)#8226;2????n-2??=(3n-1)#8226;2????n-2??. 　　分析4:迭加法. 　　解法4:∵a??n+1??-2an=3#8226;2????n-1??,∴an=2a??n-1??+3#8226;2????n-2??. 　　∴an=(an-2a??n-1??)+2(a??n-1??-2a??n-2??)+2??2(a??n-2??-2a??n-3??)+…+2????n-2??(a2-2a1)+2????n-1??a1 　　=3#8226;2????n-2