【数学】高考试题分类汇编：文科立体几何教师版.docVIP

2015全国高考数学试题汇编 文科立体几何 [2015·安徽卷] 1如图1－4，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形． (1)证明直线BC∥EF； (2)求棱锥F－OBED的体积． 图1－4 【解答】 (1)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，OA＝1，OD＝2，所以OB綊eq \f(1,2)DE，OG＝OD＝2. 同理，设G′是线段DA与FC延长线的交点，有OC綊eq \f(1,2)DF，OG′＝OD＝2，又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合． 在△GED和△GFD中，由OB 綊eq \f(1,2)DE和OC綊eq \f(1,2)DF，可知B和C分别是GE和GF的中点．所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. (2)由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝eq \f(\r(3),2). 而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝eq \r(3). 所以SOBED＝S△EOB＋S△OED＝eq \f(3\r(3),2). 过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F－OBED的高，且FQ＝eq \r(3)，所以VF－OBED＝eq \f(1,3)FQ·S四边形OBED＝eq \f(3,2). 2[2015·北京卷] 2 如图1－4，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点． (1)求证：DE∥平面BCP； (2)求证：四边形DEFG为矩形； (3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由． 【解答】 (1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点， 图1－5 所以DE∥PC. 又因为DE?平面BCP，PC?平面BCP， 所以DE∥平面BCP. (2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点， 所以DE∥PC∥FG， DG∥AB∥EF， 所以四边形DEFG为平行四边形． 又因为PC⊥AB， 所以DE⊥DG， 所以平行四边形DEFG为矩形． (3)存在点Q满足条件，理由如下： 连接DF，EG，设Q为EG的中点． 由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝eq \f(1,2)EG. 分别取PC、AB的中点M，N，连接ME、EN、NG、MG、MN. 与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q， 且QM＝QN＝eq \f(1,2)EG. 所以Q为满足条件的点． 3 [2015·江苏卷] 如图1－2，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点． 图1－2 求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD. 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 【解答】 证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD， 图1－3 所以直线EF∥平面PCD. (2)连结BD，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD. 又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 图1－6 4[2015·课标全国卷] 如图1－8，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD ； (2)设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高． 图1－8 【解答】 (1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq \r(3)AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD， 所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD. (2)如图，作DE⊥PB，垂足为E. 已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC. 由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD. 图1－9 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE. 则DE⊥平面PBC. 由题设