§4系统容量有限排队模型MM1,sK.docVIP

第 PAGE 23 页 共 NUMPAGES 26 页 §4 系统容量有限排队模型M/M/1,s/K 一、容量有限单服务台M/M/1/K/?/FCFS 到达间隔: 负指数(参数为:到达率)分布;(逐个到) 服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布; 服务台数: 1; 系统容量: K; 排队(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 设 为系统平稳后系统有个人的概率. 因容量为K, 服务台为1, 有K-1个等待位置, 故 由(1)、 (2)和 (3) , 得(与前类似) , 故,和. 注: 因系统容量有限K, 故可讨论的情形. 各指标如下 1. 当时, (1)系统中平均顾客数(队长期望值) (注: K为无穷,即为前节结果) (2) 平均排队长 由于容量有限, 当系统满时, 顾客不能进入. 不能进入的概率为, 能进入的概率为, ?顾客有效到达率, 可证 (利用?) (3) 平均逗留时间 用Little公式得 (4) 平均等待时间 或(注:不可用) 现把M/M/1/K/?的各指标归纳如下, 当时, ,?,和. 此处应先: (第1项为前节) 和 然后: 和. (i) 当,且时, 即为M/M/1/∞/∞. , (ii) 当时, 有 ,,, , ,, . 例5 某修理站只有一个修理工, 且站内最多只能停放4台待修理的机器. 设待修机器按Poisson流到达修理站, 平均到达率为1台/min; 修理时间服从负指数分布, 平均每1.25min可修理1台, 试求该系统的有关指标. 解 这是一个M/M/1/4模型 ,,,, 和(无客) (满客=损失) 有效到达率. 所以 (台) (台) (min) (min) 1.当时,, (1) (2) 其余类似, (3) (4). 二、容量有限多服务台M/M/s/K/?/FCFS 逐个到达间隔: 负指数(参数为:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为:服务率)分布; 服务台数: s; 系统容量: K(); 排队(客源): 无限; 服务规则: FCFS. 1. 基本分析 进入系统率: 系统服务率: 仍用最基本的公式(1), (2),(3), 可得 其中, 以及, 2. 各项指标 (1) 此处先求平均排队长 (i) , (ii) , (2) 平均队长(具体推导见第二版P338) 仍用有效到达率: (3) (4). 另外还可计算平均被占用的服务台数 故又有 当时, 即有. 例6 某汽车加油站设有两个加油机,汽车按Poisson流到达, 平均每分钟到达2辆;汽车加油时间服从负指数分布, 平均加油时间为2min. 又知加油站上最多只能停放3辆等待加油的汽车, 汽车到达时, 若已满员, 则必须开到别的加油站去, 试对该系统分析. 解 这是一个M/M/2/5的排队模型 ,,,, 先求 系统空闲的概率: , 顾客损失率: ; (1) 加油站内在等待的平均汽车数 (辆) (2) 加油站内平均汽车数 (辆) 有效到达率: (3)(min) (4)(min). 另外平均被占用的加油机数 (个). 特别当时, (如停车场所,就不许排队) . 若记顾客的损失率为 (爱尔朗损失公式) 则可计算得平均被占用的服务台数 平均队长 有效到达率 平均逗留时间 , 因以上是较一般公式, 故暂无限制. ######################################## 作业: 5.4设某店(空间很大)有2个服务员,顾客的平均到达率6人/h, 服务时间平均10min, 求 (1) 店内空闲的概率; (2) 店内至少有2个或更多顾客的概率; (3) . 5.5 某车间的工具仓库只有一个管理员, 平均有4人/h来领工具, 到达过程为Poisson流;领工具的时间服从负指数分布, 平均为6min. 由于场地限制, 仓库内领工具的人最多不能超过3人, 求 (1) 仓库内没有人领工具的概率; (2) 仓库内领工具的工人的平均数; (3) 排队等待领工具的工人的平均数; (4) 工人在系统中的平均花费时间; (5) 工人平均排队时间. 5.6* 某工厂买了许多同种类型的自动化机器, 现需要确定一个工人应看管几台机器, 机器运转时,不需要看管. 已知每台机器的正常运转时间服从平均数为120min的负指数分布, 工人看管一台机器的时间服从平均数12min的负指数分布, 每个工人只能看管自己的机器, 工厂要求每台机器的正常运转时间不得少于87.5%. 问在这些条件下, 每个工人最多能看管几台机器? *********************************** 另外一些介绍 1)绝对通过能力(单位时间内实际可完成的服务数): 2)相对通过能力(被服务顾客数/请求服