2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲A训练28 立体几何中的向量方法.docxVIP

知识点一　空间向量的有关概念名称概念表示零向量长度为________的向量0单位向量模为________的向量相等向量方向________且模________的向量a＝b相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相________________的向量a∥b共面向量平行于同一个________的向量知识点二　共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________________________．推论　如图所示，对空间任意一点O，点P在l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的________．在l上取＝a，则①可化为＝_______________________.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝________________，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝________________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝________.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝________________，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．知识点三　空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是________________________．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b____________，记作a⊥b.②两向量的数量积已知两个非零向量a，b，则________________叫做a，b的数量积，记作________．即________________________________.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝________________；②交换律：a·b＝______________；③分配律：a·(b＋c)＝________________.知识点四　空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)．(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)．(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)．(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(5)若a，b为非零向量，则a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(6)若b≠0，则a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.(7)|a|＝＝.(8)cos〈a，b〉＝＝.(9)若A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则dAB＝||＝.知识点五　平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．知识点六　空间中直线与直线关系的向量表示若空间不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a∥b?a∥b?a＝λb(λ∈R)，a⊥b?a⊥b?a·b＝0.知识点七　空间中直线与平面关系的向量表示若直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，且a?α，则a∥α?a∥α?a⊥n?a·n＝0，a⊥α?a⊥α?a∥n?a＝λn.知识点八　空间中平面与平面关系的向量表示若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a，b，则α∥β?a∥b?a＝λb，α⊥β?a⊥b?a·b＝0.知识点九　空间中异面直线所成角的向量求法设异面直线a，b的夹角为θ，方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|＝.知识点十　空间中直线与平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为l，平面α的法向量为n，l与α所成的角为θ，l与n的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝.知识点十一　空间中二面角的平面角大小的向量求法设n1，n2是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1，n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．若二面角α－l－β的平面角为θ，则|cosθ|＝.例1　(2015年10月学考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点，设AM与平面BB1D1D的交点为O，则(　　)A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1B．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1C．三点D1，O，B共线，且OB＝OD1D．三点D1，O，B不共线，且OB＝OD1例2　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c例3　(2016年4月学考)已知空间向量a＝(2，－1,5)，b＝(－4,2，x)(x∈R)，若a⊥