2012年全国高中数学联赛试题及详细解析模板.docVIP

2012年全国高中数学联赛一试 参考答案及详细评分标准 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示） 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数 （1）若对任意，都有，求的取值范围； （2）若，且存在，使得，求的取值范围． 10.（本小题满分20分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有 （1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列; （2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分） 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且． （1）求证：为定值； （2）当点A在半圆（）上运动时， 求点的轨迹． 2012年全国高中数学联赛加试试题 一、（本题满分40分） 如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。 二、（本题满分４０分） 试证明：集合满足 （1）对每个，及，若，则一定不是的倍数； （2）对每个（其中表示在Ｎ 中的补集），且，必存在，，使是的倍数． 三、（本题满分５０分） 设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为 求证： 四、（本题满分５０分） 设，ｎ是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数． 参考答案及详细评分标准 2012年全国高中数学联赛一试 】4 【解析】不妨设则 因为 所以 当且仅当时上式等号同时成立.故 4. 【答案】1 【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 在中,由余弦定理得 当且仅当时等号成立.故的最大值为1. 5. 【答案】4 【解析】如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则 ,从而,因为 所以即 所以,故 6. 【答案】 【解析】用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为 .于是,有,即由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故 二、解答题 9. 【解析】(1)令则分 对任意,恒成立的充要条件是分 (2)因为所以所以分 因此于是,存在,使得的充要条件是 故的取值范围是分 10. 【解析】(1)当时, ,由得.当时,, 由得或‥‥‥‥‥‥‥5分 当时,若得或;若得; 综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分 (2)令则从而 两式相减,结合得当时,由(1)知; 当时,即 所以或‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分 又 所以‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分 11. 【解析】因为所以山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分 如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有 (定值) ‥‥‥‥10分 (2)设其中则. 因为所以‥‥‥‥‥15分 由(1)的结论得所以从而 故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为‥‥‥‥‥‥20分 2012年全国高中数学联赛加试试题 的切线.因此‥‥‥10分 因为 所以‥‥‥‥20分 因而是的外接圆的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分 故 所以三点共线。‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分 二、【解析】证明:对任意的,设则如果是任意一个小于的正整数,则‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分 由于与中,一个为奇数,它不含素因子,另一个是偶数,它含素因子的幂的次数最多为,因此一定不是的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分 若,且设其中为非负整数,为大于的奇数, 则‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分 下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令消去得 由于这方程必有整数解;其中为方程的特解. 把最小的正整数解记为则,故使是的倍数．‥‥‥40分 证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组 在区间上有解即存在使是的倍数．‥‥‥‥40分 证法三:由于总存在使取使则 存在使 此时因而是的倍数．‥‥‥‥‥40分 三、【解析】证法一:不妨设先证明:对任意正整数,都有 显然, 对均成立,只有时右边取等号……10分 所以,只要证明当时,有即可. 以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;以圆心，为半径画圆，这个圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥20分 所以‥‥‥‥‥‥‥30分 由易知‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分 所以对时也成立. 综上,对任意正整数都有. 因而‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分 证法二: 不妨设 以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切; ‥‥‥10分 设是是圆上任意一点,由于 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分 因而,以为圆心, 为半径的圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分 故